Uma distribuição de cargas elétricas produz um campo elétrico E(r)=E(r) r, com:
E(r)= alpha r^2R^4, & rR
onde r=raizx^2+y^2+z^2 e alpha>0.
(a) (1,0 ponto) Determine o potencial elétrico V(r) para r>R. Considere V(r=infty)= 0 .
(b) (1,0 ponto) Determine o potencial elétrico V(r) para r.

Passo 1

A questão trata de uma distribuição esfericamente simétrica que gera um campo elétrico radial \ $\vec E®=E®,\hat r\$ dado por \ $ vec E(r)=E(r),hat r Queremos achar o potencial elétrico \ $V®$ em duas regiões, sabendo que \ $V(\infty)=0$ e usando a relação $\vec E=-\nabla V$ que em simetria esférica vira $E®=-\dfrac{dV}{dr}$.

Passo 2

Para $r>R$ usamos a definição de potencial como integral do infinito até $r$:
Temos uma vez que $E(r’)=\dfrac{\alpha}{r’^2}$ nessa região, então
r>RV®=\alpha\left[-\dfrac{1}{r’}\right]_{r}^{\infty}=\dfrac{\alpha}{r}.\$$

Passo 3

Para $r<R$ aproveitamos a continuidade de $V$ em $r=R$ e escrevemos
ráV®=\dfrac{\alpha}{R}-\int_{R}{r}\dfrac{\alpha,r’2}{R4},dr’=\dfrac{\alpha}{R}-\dfrac{\alpha}{R4}\left[\dfrac{r’3}{3}\right]_{R}{r}.\$$
Calculando,
$ V

Resposta

Para r>R: V®= dfracalphar. Para r<R: V®= dfrac4alpha3R-dfracalpha,r^33R^4.

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