O campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo é dado por
E(x, t)=E0 sen(alpha x) cos (beta t) j
onde alpha e beta são duas constante positivas dadas. Expresse suas respostas utilizando a velocidade da luz no vácuo c.
(a) (1,0 ponto) Deduza a relação existente entre as constantes alpha e beta sabendo-se que o campo elétrico satisfaz a equação de onda.
(b) (1,0 ponto) A partir da lei de Faraday, deduza a expressão do campo magnético da onda.
© (1,0 ponto) Reescreva E(x, t) na forma de uma superposição de ondas que se compõem para produzir esta onda estacionária.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo elétrico de uma onda estacionária no vácuo
E(x,t)=E0sin(alpha x)cos(beta t),j
Precisamos usar: (i) a equação de onda para campos em vácuo e (ii) a lei de Faraday nablatimesE=-partialB/partial t.

Passo 2

Para encontrar a relação entre alpha e beta, aplicamos a equação de onda
partial^2Epartial x^2=1c^2partial^2Epartial t^2
Calculando as derivadas:
partial^2partial x^2[sin(alpha x)cos(beta t)]=-alpha^2sin(alpha x)cos(beta t),
partial^2partial t^2[sin(alpha x)cos(beta t)]=-beta^2sin(alpha x)cos(beta t)
Substituindo obtemos alpha^2=beta^2/c^2, ou seja beta=c,alpha.

Passo 3

Para achar o campo magnético, usamos a lei de Faraday:
nablatimesE=-partialBpartial t
Como E=E0sin(alpha x)cos(beta t),j, seu rotacional tem só componente em k:
(nablatimesE)z=partial Eypartial x=E0alphacos(alpha x)cos(beta t)
Logo
partial Bzpartial t=-E0alphacos(alpha x)cos(beta t)
Integrando em t e usando beta=calpha
Bz=E0alphabetacos(alpha x)sin(beta t)=E0ccos(alpha x)sin(beta t)
Assim
B(x,t)=E0ccos(alpha x)sin(beta t),k

Passo 4

Para escrever E(x,t) como superposição de ondas viajantes, usamos a identidade trigonométrica:
sin(alpha x)cos(beta t)=tfrac12l[sin(alpha x+beta t)+sin(alpha x-beta t)r]
Como beta=alpha c, isso é equivalente a duas ondas que viajam em sentidos opostos: x+ct e x-ct.

Resposta

a) beta=c,alpha. b) B(x,t)=E0ccos(alpha x)sin(beta t),k c) E(x,t)=E02l[sinl(alpha(x+ct)r)+sinl(alpha(x-ct)r)r],j

Exercícios relacionados