Questão 4

Um onda eletromagnética propagando-se no vácuo tem o campo elétrico dado por
E=E0 sen(ky y) cos (kz z-omega t) widehatx
(a) ky, kz ponto) Determine a relação que deve haver entre omega e t=0 para que o campo elétrico satisfaça a equação de ondas tridimensional.
(b) ( 1,0 ponto) A partir da forma diferencial da lei de Faraday determine o campo magnético associado ao campo elétrico dado.
© (1,0 ponto) Determine o vetor de Poynting no instante x=0, y=pi2 ky em um ponto com coordenadas e $z=0.

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico de uma onda no vácuo
E(y,z,t)=E0,sin(ky y),cos(kz z-omega t),x
Precisamos (a) usar a equação de onda nabla^2E=tfrac1c^2partial^2E/partial t^2, (b) usar a lei de Faraday na forma diferencial nablatimesE=-partialB/partial t para achar B, e © calcular o vetor de Poynting S=tfrac1mu0,EtimesB no ponto e instante dados.

Passo 2

Para satisfazer a equação de onda fazemos
nabla^2Ex=partial^2 Expartial y^2+partial^2 Expartial z^2
partial^2Expartial y^2=-ky^2E0sin(ky y)cos(kz z-omega t), partial^2Expartial z^2=-kz^2E0sin(ky y)cos(kz z-omega t)
partial^2Expartial t^2=-omega^2E0sin(ky y)cos(kz z-omega t)
Igualando nabla^2Ex=tfrac1c^2partial^2Ex/partial t^2 vem
ky^2 + kz^2 = omega^2c^2

Passo 3

Para achar B usamos
nablatimesE=-partialBpartial t
Como só Ex é não-nulo, calcula-se
(nablatimesE)y=-partial Expartial z=E0kzsin(ky y)sin(kz z-omega t),
(nablatimesE)z=partial Expartial y=E0kycos(ky y)cos(kz z-omega t)
Integramos em t, escolhendo constantes de integração zero para não ter campo estático, e obtemos
By=-E0kzomega,sin(ky y)cos(kz z-omega t),
Bz=E0kyomega,cos(ky y)sin(kz z-omega t)
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B= -E0kzomegasin(ky y)cos(kz z-omega t),y +E0kyomegacos(ky y)sin(kz z-omega t),z

Passo 4

Para o vetor de Poynting
S=1mu0,EtimesB,
no instante t=0 e no ponto y=tfracpi2ky,z=0 temos
Ex=E0sinl(kytfracpi2kyr)cos0=E0, By=-E0kzomega, Bz=0
Então
S=1mu0(E0x)timesl(-E0kzomegayr) =-E0^2kzmu0omega,z

Resposta

(a) ky^2+kz^2=omega^2/c^2.
(b)
© B=-E0kzomegasin(ky y)cos(kz z-omega t),y+E0kyomegacos(ky y)sin(kz z-omega t),z no ponto e instante dados.

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