Na região do espaço -a / 2 limitada por superfícies condutoras em z=-a / 2 e z=a / 2 há uma onda eletromagnética no vácuo com um campo elétrico dado por
E=E(z, t) widehatimath=[E0 cos (k z-omega t)+E0 cos (-k z-omega t)] widehatimath=2 E0 cos (k z) cos (omega t) widehatimath
(a) (1,0 ponto) Calcule o campo magnético B.
(b) ( 0,5 ponto) Calcule o vetor de Poynting.
© (1,0 ponto) Use as equações de Maxwell apropriadas para calcular a densidade de carga e a densidade de corrente na região -a / 2.

Passo 1

A questão descreve uma onda estacionária no vácuo, confinada entre superfícies condutoras em z=–a/2 e z=+a/2, com campo elétrico dado por vec E=2E0cos(kz)cos(omega t),hatimath. Vamos usar as equações de Maxwell no vácuo para achar o campo magnético, o vetor de Poynting e as densidades de carga e corrente.

Passo 2

Para encontrar vec B usamos a lei de Faraday no vácuo: nablatimesvec E=-partialvec B/partial t. Como vec E só tem componente Ex(z,t)=2E0cos(kz)cos(omega t), calcula-se
(1) ,(nablatimesvec E)y=partial Ex/partial z=-2E0 ksin(kz)cos(omega t),
(2) -partial By/partial t=(nablatimesvec E)y → integra em t:
By(z,t)=2E0 komegasin(kz)sin(omega t)
Como k/omega=1/c, temos
vec B(z,t)=2E0csin(kz)sin(omega t),hatjmath

Passo 3

O vetor de Poynting instantâneo é
vec S=1mu0,vec Etimesvec B =1mu0[2E0cos(kz)cos(omega t),hatimath]times[tfrac2E0csin(kz)sin(omega t),hatjmath] =4E0^2mu0 ccos(kz)sin(kz)cos(omega t)sin(omega t),hat k
Usando identidades, isto vira
vec S(z,t)=E0^2mu0 c,sin(2kz)sin(2omega t),hat k,
cuja média temporal é zero (onda estacionária não transporta energia líquida).

Passo 4

Para densidade de carga ρ usamos Gauss no vácuo:
nablacdotvec E=partial Expartial x=0Rightarrow rho=varepsilon0,0=0
Para densidade de corrente vec J usamos Ampère–Maxwell:
nablatimesvec B=mu0vec J+mu0varepsilon0,partialvec E/partial t Rightarrow vec J=1mu0(nablatimesvec B)-varepsilon0,partialvec Epartial t
Calcula-se que as duas parcelas se cancelam identicamente, dando
vec J=0

Resposta

(a) vec B(z,t)=2E0csin(kz)sin(omega t),hatjmath
(b) vec S(z,t)=E0^2mu0 csin(2kz)sin(2omega t),hat k (média temporal zero).
© rho=0, vec J=0

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