O campo elétrico de uma onda plana que se propaga em um meio material nãomagnético é dado por
.
Determine: (a) o comprimento de onda; (b)
; ©
Determine: (a) o comprimento de onda; (b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo elétrico de uma onda plana que se propaga em um meio não magnético. Precisamos determinar três coisas:
a) O comprimento de onda;
b) A permissividade relativa (
);
c) O campo magnético associado à onda,
.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de ondas eletromagnéticas, especialmente as relações entre campos elétrico e magnético e as propriedades dos meios materiais.
Passo 2
Vamos começar determinando o comprimento de onda da onda dada. O campo elétrico está expresso como uma função das coordenadas espaço-tempo, e podemos identificar a forma geral de uma onda plana como:
onde:
-
é a frequência angular; -
é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda pela relação .
No enunciado, o termo da função seno é
, o que nos permite identificar
e
. Usando a relação entre
e
:
Substituindo o valor de
:
Passo 3
Agora, vamos determinar a permissividade relativa
. Sabemos que em um meio material, a velocidade da onda
está relacionada à permissividade absoluta
e à permeabilidade absoluta
do meio pela relação:
Como o meio é não magnético, a permeabilidade absoluta é igual à permeabilidade do vácuo,
. A permissividade absoluta é relacionada à permissividade relativa pela expressão:
A velocidade da onda também está relacionada ao comprimento de onda e à frequência pela relação:
onde
é a frequência da onda. Podemos obter
a partir da frequência angular
:
Agora, com
e
:
Substituindo na relação
:
Resolvendo para
:
Conhecendo que
, onde
é a velocidade da luz no vácuo, temos:
Passo 4
Por fim, vamos determinar o campo magnético
. Em ondas eletromagnéticas, os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e à direção de propagação, e estão relacionados pela impedância do meio.
A relação entre os campos elétrico e magnético em um meio material é dada por:
onde
é a impedância do meio e
é o vetor de propagação da onda.
A impedância do meio é:
onde
é a impedância do vácuo.
Com
:
Agora, identificamos a direção de propagação da onda a partir do termo
na função seno, que indica propagação ao longo do eixo
. Portanto,
.
A expressão do campo elétrico é:
Para encontrar
, calculamos o produto vetorial:
Então, substituindo na expressão de
:
Arredondando os valores:
Resposta
a) O comprimento de onda é
;
b) A permissividade relativa é
;
c) O campo magnético é
.