O campo elétrico de uma onda plana que se propaga em um meio material nãomagnético é dado por E=3 sen(2 pi 10^7 t-0,4 pi x) ay+4 cos (2 pi 10^7 t-0,4 pi x) az (V / m).
Determine: (a) o comprimento de onda; (b) varepsilonR; © H

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo elétrico de uma onda plana que se propaga em um meio não magnético. Precisamos determinar três coisas:
a) O comprimento de onda;
b) A permissividade relativa ( varepsilonR);
c) O campo magnético associado à onda, H.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de ondas eletromagnéticas, especialmente as relações entre campos elétrico e magnético e as propriedades dos meios materiais.

Passo 2

Vamos começar determinando o comprimento de onda da onda dada. O campo elétrico está expresso como uma função das coordenadas espaço-tempo, e podemos identificar a forma geral de uma onda plana como:
E(x, t) = E0 sin(omega t - k x )
onde:
  • omega é a frequência angular;
  • k é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda lambda pela relação k = 2pilambda.
No enunciado, o termo da função seno é 2pi 10^7 t - 0,4 pi x, o que nos permite identificar omega = 2pi times 10^7 , rad/s e k = 0,4 pi , rad/m. Usando a relação entre k e lambda:
lambda = 2pik
Substituindo o valor de k:
lambda = 2pi0,4 pi = 20,4 = 5, m

Passo 3

Agora, vamos determinar a permissividade relativa varepsilonR. Sabemos que em um meio material, a velocidade da onda v está relacionada à permissividade absoluta varepsilon e à permeabilidade absoluta mu do meio pela relação:
v = 1raizvarepsilon mu
Como o meio é não magnético, a permeabilidade absoluta é igual à permeabilidade do vácuo, mu0. A permissividade absoluta é relacionada à permissividade relativa pela expressão:
varepsilon = varepsilonR varepsilon0
A velocidade da onda também está relacionada ao comprimento de onda e à frequência pela relação:
v = lambda f
onde f é a frequência da onda. Podemos obter f a partir da frequência angular omega:
f = omega2pi = 2pi times 10^72pi = 10^7 , Hz
Agora, com lambda = 5, m e f = 10^7, Hz:
v = 5, m times 10^7, Hz = 5 times 10^7, m/s
Substituindo na relação v = 1raizvarepsilon mu:
5 times 10^7 = 1raizvarepsilonR varepsilon0 mu0
Resolvendo para varepsilonR:
varepsilonR = ( 1v raizvarepsilon0 mu0 )^2
Conhecendo que 1raizvarepsilon0 mu0 = c, onde c approx 3 times 10^8, m/s é a velocidade da luz no vácuo, temos:
varepsilonR = ( cv )^2 = ( 3 times 10^85 times 10^7 )^2 = ( 6 )^2 = 36

Passo 4

Por fim, vamos determinar o campo magnético H. Em ondas eletromagnéticas, os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e à direção de propagação, e estão relacionados pela impedância do meio.
A relação entre os campos elétrico e magnético em um meio material é dada por:
H = 1eta , k times E
onde eta é a impedância do meio e k é o vetor de propagação da onda.
A impedância do meio é:
eta = raizmuvarepsilon = raizmu0varepsilonR varepsilon0 = eta0raizvarepsilonR
onde eta0 = raizmu0varepsilon0 approx 377, Omega é a impedância do vácuo.
Com varepsilonR = 36:
eta = 377raiz36 = 3776 approx 62,83, Omega
Agora, identificamos a direção de propagação da onda a partir do termo -0,4 pi x na função seno, que indica propagação ao longo do eixo x. Portanto, k = ax.
A expressão do campo elétrico é:
E = 3 sin(2 pi 10^7 t - 0,4 pi x ) ay + 4 cos(2 pi 10^7 t - 0,4 pi x) az
Para encontrar H, calculamos o produto vetorial:
k times E = ax times (3 ay + 4 az) = 3 ax times ay + 4 ax times az = 3 az - 4 ay
Então, substituindo na expressão de H:
H = 162,83(3 az - 4 ay ) approx 0,0477 az - 0,0637 ay , A/m
Arredondando os valores:
H approx 0,048 az - 0,064 ay , A/m

Resposta

a) O comprimento de onda é lambda = 5, m;
b) A permissividade relativa é varepsilonR = 36;
c) O campo magnético é H approx 0,048 az - 0,064 ay , A/m.

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