Um campo elétrico se propaga na água do mar de modo que sua função é:
\vec{E}(z, t)=20 e^{-\alpha z} \cos \left(2 \pi \times 10^{6} t-\beta z+0,5\right) \vec{a}_{y} \quad V / m
Sabe-se que a permissividade relativa desse tipo de material é igual a 72, e que sua condutividade é igual a 5 \mathrm{~S} / \mathrm{m}. (a) Encontre a constante de atenuação e de fase. (b) Escreva as formas instantâneas completas do campo elétrico e do campo magnético. Considere o meio como não-magnético e que a parcela imaginária da permissividade é nula. (Gabarito: (a) \alpha=\beta=4,4 \mathrm{~m}^{-1},
(b) \vec{E}(z, t)=20 e^{-4,4 z} \cos \left(2 \pi \times 10^{6} t-4,4 z+0,5\right) \vec{a}_{y}
\left.\vec{H}(z, t)=-15,9 e^{-4,4 z} \cos \left(2 \pi \times 10^{6} t-4,4 z-16,4^{\circ}\right) \vec{a}_{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico que se propaga ao longo de z na água do mar:
\vec{E}(z,t)=20\,e^{-\alpha z}\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t-\beta z+0,5\bigr)\,\vec a_{y}\quad[V/m]
Queremos (a) encontrar a constante de atenuação \alpha e a de fase \beta e (b) escrever as formas instantâneas completas de \vec E e de \vec H.
Para isso vamos usar teoria de ondas planas em meios condutores, com \displaystyle\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r, \epsilon_r=72, \sigma=5,S/m e \mu=\mu_0.

Passo 2

Calculemos primeiro a frequência angular e verifiquemos o regime de condutividade:
\omega=2\pi f=2\pi\times10^{6}\,\mathrm{rad/s}, \qquad \epsilon=\epsilon_0\epsilon_r=8{,}85\times10^{-12}\times72\approx6{,}37\times10^{-10}\,\mathrm{F/m}.
Logo
\frac{\sigma}{\omega\epsilon} =\frac{5}{2\pi\times10^{6}\times6{,}37\times10^{-10}} \approx1{,}25\times10^{3}\gg1,
o que indica que a água do mar, a essa frequência, pode ser tratada como bom condutor.
Em bom condutor usa-se
\alpha\approx\beta\approx\sqrt{\pi f\,\mu\,\sigma}.

Passo 3

Substituindo f=10^{6}, \mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7} e \sigma=5:
\alpha\approx\beta\approx\sqrt{\pi\times10^{6}\times4\pi\times10^{-7}\times5} \approx4{,}44\;\mathrm{m^{-1}}.
Arredondando, \alpha=\beta=4{,}4,m ^{-1}.

Passo 4

No regime de bom condutor a impedância intrínseca vale
\eta\approx\frac{1+j}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\omega\mu}{\sigma}} \quad\Rightarrow\quad |\eta|=\sqrt{\frac{\omega\mu}{\sigma}},\quad \angle\eta=+45^\circ.
O campo magnético de onda plana satisfaz \vec H=\dfrac{\vec E}{\eta}. Assim a amplitude de \vec H é
H_0=\frac{E_0}{|\eta|} =20\sqrt{\frac{\sigma}{\omega\mu}} \approx20\sqrt{\frac{5}{2\pi\times10^{6}\times4\pi\times10^{-7}}} \approx15{,}9\;\mathrm{A/m},
e há um defasamento de -45^\circ entre E e H. Além disso a direção de \vec H é -\vec a_{x} (para que \vec a_{y}\times(-\vec a_{x})=+\vec a_{z}).

Passo 5

Juntando tudo, as expressões instantâneas finais são
\vec E(z,t) =20\,e^{-4,4\,z} \cos\bigl(2\pi\times10^{6}t-4,4\,z+0,5\bigr)\,\vec a_{y},
\vec H(z,t) =-15{,}9\,e^{-4,4\,z} \cos\bigl(2\pi\times10^{6}t-4,4\,z+0,5 - \tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\vec a_{x},
onde +\tfrac{\pi}{4} rad \approx45^\circ.

Resposta

(a) \alpha=\beta=4{,}4\;\mathrm{m^{-1}}
(b)
\vec E(z,t) =20\,e^{-4,4\,z} \cos\bigl(2\pi\times10^{6}t-4,4\,z+0,5\bigr)\,\vec a_{y},
\vec H(z,t) =-15{,}9\,e^{-4,4\,z} \cos\bigl(2\pi\times10^{6}t-4,4\,z-16,4^\circ\bigr)\,\vec a_{x}.

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