Em uma espira quadrada, na qual cada vértice está localizado em ( 2,3,0 ), (2,-3,0),(-2,3,0) e ( -2,-3,0 ), existe uma densidade de fluxo magnético variável dada por \vec{B}(t)=\left(0,5 \vec{a}_{x}+0,6 \vec{a}_{y}-0,3 \vec{a}_{z}\right) \cos (5000 t) T. Encontre a corrente total que flui na direção \vec{a}_{\varphi} se a resistência total da espira é 400 \mathrm{k} \Omega. (Gabarito: I=-90 \operatorname{sen}(5000 t) m A )

Passo 1

O enunciado dá uma espira retangular (vértices em (2,3,0), (2,-3,0), (-2,3,0), (-2,-3,0)) de resistência total R, imersa num campo magnético uniforme e variável
\vec{B}(t) = \bigl(0,5\,\vec{a}_x + 0,6\,\vec{a}_y - 0,3\,\vec{a}_z\bigr)\cos(5000t)\;\text{T}.
Pede-se a corrente induzida na direção \vec{a}_\varphi.
Conteúdo: lei de Faraday (indução de fem) e Lei de Ohm para circuito fechado.

Passo 2

Identificamos que a espira está no plano z=0, logo seu vetor área é paralelo a \vec{a}_z. As dimensões da espira são 4 m em x (de -2 a 2) e 6 m em y (de -3 a 3), de modo que
A = 4 \times 6 = 24\;\text{m}^2,
e o vetor área (escolhendo sentido positivo para \vec{a}_z) é \vec{S}=A\,\vec{a}_z.

Passo 3

O fluxo magnético é
\Phi(t)=\int \vec{B}\cdot d\vec{S} = B_z(t)\,A \quad\text{com}\quad B_z(t) = -0,3\cos(5000t).
Logo
\Phi(t) = -0,3\cos(5000t)\times 24 = -7,2\cos(5000t)\;\text{Wb}.

Passo 4

Pela lei de Faraday a fem induzida é
\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}\bigl[-7,2\cos(5000t)\bigr] = -\bigl( -7,2\cdot(-5000)\sin(5000t)\bigr) = -36000\,\sin(5000t)\;\text{V}.
Aplicando a Lei de Ohm para a corrente total I(t)=\mathcal{E}(t)/R, com R=400\;\mathrm{k}\Omega=4\times10^5\;\Omega, obtemos
I(t) =\frac{-36000\,\sin(5000t)}{4\times10^5} =-0{,}09\,\sin(5000t)\;\text{A} =-90\,\sin(5000t)\;\text{mA}.

Resposta

I(t)=-90\,\sin(5000t)\;\text{mA}

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