Em um meio onde a permissividade relativa é unitária, um campo magnético de frequência 915 MHz e amplitude 1,4 \mathrm{~mA} / \mathrm{m} se propaga na direção \vec{a}_{x} com componente apenas em \vec{a}_{z}. Encontre a forma instantânea do campo elétrico se o meio possui condutividade igual a 9,64 \mathrm{mS} / \mathrm{m} e permeabilidade relativa igual a 85 . (Gabarito: \vec{E}(x, t)=4,82 e^{-16,67 x} \cos \left(1830 \pi \times 10^{6} t-17,8 x+5,4^{\circ}\right) \vec{a}_{y} \mathrm{~V} / \mathrm{m} )

Passo 1

O enunciado descreve uma onda eletromagnética que se propaga ao longo de x num meio com \varepsilon_r=1, \mu_r=85 e condutividade \sigma=9,64,mS/m. O campo magnético é \vec{H}(x,t)=H_0 e^{-\alpha x}\cos(\omega t-\beta x)\,\vec{a}_z
com amplitude H_0=1,4 mA/m e frequência f=915 MHz. Precisamos achar o campo elétrico instantâneo \vec{E}(x,t). Usaremos as fórmulas de constante de propagação \gamma=\alpha+j\beta e impedância intrínseca \eta em meio condutor.

Passo 2

Definimos os parâmetros do meio e da onda:
\omega = 2\pi f, \qquad \varepsilon = \varepsilon_0, \qquad \mu = \mu_0\,\mu_r, \qquad \sigma = 9,64\times10^{-3}\,\mathrm{S/m}.
As fórmulas gerais são
\gamma = \sqrt{\,j\omega\mu\,\bigl(\sigma + j\omega\varepsilon\bigr)} \;=\;\alpha + j\beta,
\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}}\,.

Passo 3

Calculemos \alpha e \beta pelas fórmulas equivalentes para meio condutor de baixa perda:
\alpha = \omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}}\;\sqrt{\sqrt{1+\Bigl(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\Bigr)^2}-1},
\beta = \omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}}\;\sqrt{\sqrt{1+\Bigl(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\Bigr)^2}+1}.
Numericamente, com \omega=2\pi\cdot915\times10^6,rad/s, obtém‐se
\alpha \approx 16{,}67\\ \mathrm{Np/m}, \qquad \beta \approx 17{,}8\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

A impedância intrínseca \eta tem módulo e fase dados por
|\eta| = \sqrt{\frac{\omega\mu}{\sqrt{\sigma^2+(\omega\varepsilon)^2}}}, \qquad \angle\eta = \frac{\frac{\pi}{2}-\arctan\!\bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\bigr)}{2}.
Calculando, resulta
|\eta|\approx 3443\\ \Omega, \qquad \angle\eta\approx 5{,}4^\circ.
Logo a amplitude do campo elétrico é
E_0 = |\eta|\,H_0 \approx 3443\cdot1,4\times10^{-3} = 4,82\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Como \vec{E} é ortogonal a \vec{H} e a x-propagação, temos \vec{E}\parallel\vec{a}_y e
\vec{E}(x,t) = E_0\,e^{-\alpha x}\cos\bigl(\omega t - \beta x + \angle\eta\bigr)\,\vec{a}_y.

Resposta

\vec{E}(x,t) = 4,82\,e^{-16,67\,x}\cos\bigl(1830\pi\times10^6\,t \;-\;17,8\,x \;+\,5,4^\circ\bigr)\,\vec{a}_y\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}

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