Sabendo que a intensidade de campo elétrico em um determinado meio possui equação dada por \vec{E}(y, t)=50 \cos \left(2 \pi \times 10^{6} t-80 \times 10^{-3} y\right) \vec{a}_{z} V / m, e a intensidade de campo magnético é dada por \vec{H}(y, t)=1,5 \cos \left(2 \pi \times 10^{6} t-\right. \left.80 \times 10^{-3} y\right) \vec{a}_{x} A / m. (a) Encontre a permeabilidade e permissividade relativas
do meio de propagação. (b) Qual a velocidade de propagação das ondas nesse meio? (Gabarito (a) \mu_{r}=0,338 \frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}, \varepsilon_{r}=43,2 \frac{\mathrm{~F}}{\mathrm{~m}}, (b) u_{p}=7,85 \times 10^{7} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} )

Passo 1

O enunciado fornece as intensidades de campo elétrico e magnético de uma onda plana no sentido y:
\vec{E}(y,t)=50\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t-80\times10^{-3}y\bigr)\,\vec{a}_{z}\quad(V/m),
\vec{H}(y,t)=1{,}5\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t-80\times10^{-3}y\bigr)\,\vec{a}_{x}\quad(A/m).
O conteúdo aqui é onda eletromagnética em meio material, e vamos usar as relações \eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}, k=\omega\sqrt{\mu\,\varepsilon} e v=\omega/k=1/\sqrt{\mu\,\varepsilon}.

Passo 2

Identificamos a frequência angular \omega e o número de onda k a partir do argumento do cosseno:
\omega=2\pi\times10^{6}\quad(\text{rad/s}),\qquad k=80\times10^{-3}=0{,}08\quad(\text{rad/m}).

Passo 3

A impedância intrínseca do meio é a razão entre as amplitudes:
\eta=\frac{E_{0}}{H_{0}} =\frac{50}{1{,}5} =33{,}33\\ \Omega.

Passo 4

Das definições usamos
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mu}{\varepsilon}=\eta^{2}
e
k=\omega\sqrt{\mu\,\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad \mu\,\varepsilon=\Bigl(\frac{k}{\omega}\Bigr)^{2}.
Resolvendo primeiro para \mu:
\mu =\eta\;\frac{k}{\omega} =33{,}33\;\frac{0{,}08}{2\pi\times10^{6}} \approx4{,}243\times10^{-7}\quad(H/m).
Então
\varepsilon =\frac{\mu}{\eta^{2}} =\frac{4{,}243\times10^{-7}}{(33{,}33)^{2}} \approx3{,}819\times10^{-10}\quad(F/m).

Passo 5

Para obter as grandezas relativas dividimos por \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,H/m e \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,F/m:
\mu_{r} =\frac{4{,}243\times10^{-7}}{4\pi\times10^{-7}} \approx0{,}338, \qquad \varepsilon_{r} =\frac{3{,}819\times10^{-10}}{8{,}854\times10^{-12}} \approx43{,}2.

Passo 6

A velocidade de propagação é
v=\frac{\omega}{k} =\frac{2\pi\times10^{6}}{0{,}08} \approx7{,}85\times10^{7}\quad(m/s).

Resposta

(a) \mu_{r}=0{,}338,\quad \varepsilon_{r}=43{,}2
(b) u_{p}=7{,}85\times10^{7}\;m/s

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