Uma onda plana de 915 MHz se propaga na direção \vec{a}_{z} e incide em uma superfície na qual possui permissividade relativa 2,1 (considere meio não magnético e sem perdas). O campo elétrico dentro desse material possui amplitude 1,6 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, polarizado na direção \vec{a}_{y}. (a) Encontre as formas instantâneas dos vetores campo elétrico e campo magnético. (b) Determine a densidade de potência média nesse meio. (Gabarito: (a) \vec{E}(z, t)=1,6 \cos \left(1830 \pi \times 10^{6} t-27,78 z\right) \vec{a}_{y} \mathrm{~V} / \mathrm{m}
\vec{H}(z, t)=-62 \cos \left(1830 \pi \times 10^{6} t-27,78 z\right) \vec{a}_{x} m A / m, (b) P=4,9 \frac{m W}{m^{2}} \vec{a}_{z} )

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana que se propaga no sentido de \vec a_{z} em um meio não magnético e sem perdas, com permissividade relativa \varepsilon_r=2{,}1. A frequência é f=915 MHz e o campo elétrico dentro do meio tem amplitude E_0=1{,}6 V/m, polarizado em \vec a_{y}. Pede-se:
(a) as formas instantâneas de \vec E(z,t) e \vec H(z,t);
(b) a densidade de potência média (vetor de Poynting) nesse meio.

Passo 2

Primeiro calculamos a frequência angular \omega e o número de onda k:
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 915\times10^{6} = 1830\pi\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}
k = \omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_r} = k_0\sqrt{\varepsilon_r} = \frac{2\pi}{\lambda_0}\sqrt{\varepsilon_r} \approx 27{,}78\\ \mathrm{rad/m}
onde \lambda_0 = c/f e \sqrt{\varepsilon_r} = \sqrt{2{,}1}\approx1{,}449.

Passo 3

A forma instantânea do campo elétrico é
\vec E(z,t)=E_0\cos\bigl(\omega t - k z\bigr)\,\vec a_{y} =1{,}6\;\cos\!\bigl(1830\pi\times10^{6}\,t \;-\;27{,}78\,z\bigr)\,\vec a_{y} \quad\mathrm{V/m}.

Passo 4

Calculamos a impedância do meio
\eta = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0\varepsilon_r}} = \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_r}} = \frac{377}{\sqrt{2{,}1}} \approx 260\\ \Omega.
O módulo do campo magnético é H_0 = E_0/\eta = 1{,}6/260 \approx0{,}00615 A/m =6{,}15 mA/m. Para que a onda se propague em +\vec a_{z} com \vec E\parallel\vec a_{y}, o campo \vec H deve apontar em -\vec a_{x}. Assim
\vec H(z,t) = -\,H_0\cos\bigl(\omega t - k z\bigr)\,\vec a_{x} = -6{,}15\;\cos\!\bigl(1830\pi\times10^{6}\,t - 27{,}78\,z\bigr)\,\vec a_{x} \quad\mathrm{mA/m}.

Passo 5

A densidade de potência média é dada por
\langle \vec S\rangle = \frac{1}{2}\,\Re\{\vec E\times\vec H^*\} = \frac{E_0^2}{2\,\eta}\,\vec a_{z}.
Substituindo E_0=1{,}6 V/m e \eta=260, \Omega:
\frac{(1{,}6)^2}{2\times260} = \frac{2{,}56}{520} \approx4{,}9\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^2} =4{,}9\\ \mathrm{mW/m^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec E(z,t)=1{,}6\;\cos\!\bigl(1830\pi\times10^{6}t - 27{,}78\,z\bigr)\,\vec a_{y}\;\mathrm{V/m} \displaystyle \vec H(z,t)=-6{,}15\;\cos\!\bigl(1830\pi\times10^{6}t - 27{,}78\,z\bigr)\,\vec a_{x}\;\mathrm{mA/m} (b) \displaystyle \langle \vec S\rangle =4{,}9\;\mathrm{mW/m^2}\;\vec a_{z}

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