O campo elétrico em uma região da atmosfera terrestre aponta verticalmente para baixo. Em um ponto a 400 m de altitude, o módulo do campo é 50.0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}, e em um ponto a 300 m de altitude, o módulo é 90.0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Determine a carga líquida (em módulo e sinal) contida no interior de um cubo com 100 m de aresta, que está posicionado com suas faces horizontais nessas duas altitudes.

Passo 1

O enunciado diz que o campo elétrico \mathbf E na região aponta verticalmente para baixo e tem módulo \,E_{\text{top}} = 50{,}0\\ \mathrm{N/C} a 400\\ \mathrm m e \,E_{\text{bot}} = 90{,}0\\ \mathrm{N/C} a 300\\ \mathrm m. O cubo de aresta L=100\\ \mathrm m tem a face superior a 400\\ \mathrm m e a inferior a 300\\ \mathrm m.
Conteúdo necessário: Lei de Gauss para campo elétrico, que relaciona o fluxo elétrico pelo contorno do volume à carga elétrica total dentro dele.

Passo 2

A Lei de Gauss afirma:
\oint_{S} \mathbf E \cdot d\mathbf A \;=\;\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}.
No nosso cubo, apenas as faces horizontal superior e inferior contribuem, pois as faces laterais são paralelas a \mathbf E (fluxo nulo).
Escolhendo eixo z positivo para cima:
  • Face superior (altura 400\\ \mathrm m): vetor área d\mathbf A_{\text{top}} = +\hat{\mathbf z}\,L^2.
  • Face inferior (altura 300\\ \mathrm m): vetor área d\mathbf A_{\text{bot}} = -\hat{\mathbf z}\,L^2.
    Como \mathbf E aponta para baixo em ambas, \mathbf E = -E(z)\,\hat{\mathbf z}, temos:
\Phi = \oint_S \mathbf E \cdot d\mathbf A = \mathbf E(400)\cdot(+\hat{\mathbf z}L^2)\;+\;\mathbf E(300)\cdot(-\hat{\mathbf z}L^2).
Substituindo \mathbf E(400)= -E_{\text{top}}\hat{\mathbf z} e \mathbf E(300)= -E_{\text{bot}}\hat{\mathbf z}:
\Phi = \bigl(-E_{\text{top}}\hat{\mathbf z}\bigr)\!\cdot\!(+\hat{\mathbf z}L^2) \;+\;\bigl(-E_{\text{bot}}\hat{\mathbf z}\bigr)\!\cdot\!(-\hat{\mathbf z}L^2) = -E_{\text{top}}L^2 \;+\;E_{\text{bot}}L^2 = \bigl(E_{\text{bot}}-E_{\text{top}}\bigr)L^2.

Passo 3

Agora basta inserir os valores:
E_{\text{bot}}-E_{\text{top}} = 90{,}0 - 50{,}0 = 40{,}0\\ \mathrm{N/C}, \quad L^2 = (100\\ \mathrm m)^2 = 1{,}0\times10^4\\ \mathrm{m^2}.
Logo o fluxo é
\Phi = 40{,}0\;\frac{\mathrm{N}}{\mathrm C}\times1{,}0\times10^4\\ \mathrm{m^2} = 4{,}0\times10^5\\ \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm C}.

Passo 4

Pela Lei de Gauss, a carga interna é
Q_{\text{int}} = \epsilon_{0}\,\Phi = (8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/N\,m^2})\times(4{,}0\times10^5\\ \mathrm{N\,m^2}/\mathrm C) = 3{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm C.
O resultado positivo indica carga líquida positiva no interior do cubo.

Resposta

\,Q_{\text{int}} = +3{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

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