Um campo elétrico uniforme E é perpendicular a um campo magnético uniforme B. Um próton movendo-se com velocidade vP perpendicular a ambos os campos experimenta uma força resultante nula. Um elétron movendo-se com velocidade ve também experimenta uma força resultante nula. Mostre que a razão entre a energia cinética do próton e a do elétron é mP / me.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo campos elétrico ( E) e magnético ( B) que são perpendiculares entre si. A parada é que tanto um próton quanto um elétron estão se movendo perpendicularmente a esses campos e, curiosamente, a força resultante sobre cada um deles é nula. Nosso objetivo aqui é mostrar que a razão entre a energia cinética do próton e a do elétron é igual à razão das suas massas, ou seja, mP / me. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis do eletromagnetismo, principalmente a força de Lorentz, e os conceitos de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da força de Lorentz, que é a força que uma partícula carregada experimenta quando está em campos elétrico e magnético. A fórmula é:
F = q ( E + v times B )
Como a força resultante é zero para ambas as partículas, temos:
q ( E + v times B ) = 0

Passo 3

Isso significa que a força elétrica FE = qE e a força magnética FB = qv times B se cancelam. Ou seja, FE = -FB. Como as partículas estão se movendo perpendicularmente aos campos, a velocidade v delas está perpendicular a B, então podemos simplificar a equação da força magnética para:
FB = qvB
E a força elétrica é:
FE = qE
Então, temos qE = qvB, o que simplifica para:
E = vB

Passo 4

Agora, vamos relacionar a velocidade das partículas com os campos. Como E = vB, podemos resolver para a velocidade:
v = EB
Isso vale tanto para o próton quanto para o elétron. Mas cada um tem sua própria velocidade: vP para o próton e ve para o elétron.

Passo 5

A energia cinética de uma partícula é dada por:
K = 12mv^2
Vamos calcular a energia cinética do próton ( KP) e do elétron ( Ke):
KP = 12mP vP^2
Ke = 12me ve^2

Passo 6

Agora, tirando a razão entre as duas energias cinéticas:
KPKe = 12mP vP^212me ve^2 = mP vP^2me ve^2
Mas, como v = EB para ambos, podemos substituir:
vP = EB, ve = EB
Então:
KPKe = mP (EB)^2me (EB)^2 = mPme

Resposta

A razão entre a energia cinética do próton e a do elétron é mPme.

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