Um campo elétrico uniforme
é perpendicular a um campo magnético uniforme
. Um próton movendo-se com velocidade
perpendicular a ambos os campos experimenta uma força resultante nula. Um elétron movendo-se com velocidade
também experimenta uma força resultante nula. Mostre que a razão entre a energia cinética do próton e a do elétron é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo campos elétrico (
) e magnético (
) que são perpendiculares entre si. A parada é que tanto um próton quanto um elétron estão se movendo perpendicularmente a esses campos e, curiosamente, a força resultante sobre cada um deles é nula. Nosso objetivo aqui é mostrar que a razão entre a energia cinética do próton e a do elétron é igual à razão das suas massas, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis do eletromagnetismo, principalmente a força de Lorentz, e os conceitos de energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da força de Lorentz, que é a força que uma partícula carregada experimenta quando está em campos elétrico e magnético. A fórmula é:
Como a força resultante é zero para ambas as partículas, temos:
Passo 3
Isso significa que a força elétrica
e a força magnética
se cancelam. Ou seja,
. Como as partículas estão se movendo perpendicularmente aos campos, a velocidade
delas está perpendicular a
, então podemos simplificar a equação da força magnética para:
E a força elétrica é:
Então, temos
, o que simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a velocidade das partículas com os campos. Como
, podemos resolver para a velocidade:
Isso vale tanto para o próton quanto para o elétron. Mas cada um tem sua própria velocidade:
para o próton e
para o elétron.
Passo 5
A energia cinética de uma partícula é dada por:
Vamos calcular a energia cinética do próton (
) e do elétron (
):
Passo 6
Agora, tirando a razão entre as duas energias cinéticas:
Mas, como
para ambos, podemos substituir:
Então:
Resposta
A razão entre a energia cinética do próton e a do elétron é
.