Para o campo elétrico E=(4 x-2 y) ax-(2 x+4 y) ay, encontre: (a) a equação da linha de força que passa pelo ponto P(2,3,-4);

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um campo elétrico
vec E = (4x - 2y), ax ;-;(2x + 4y), ay
e quer a equação da linha de força que passa por .
Isso é tópico de eletrostática sobre linhas de força (ou linhas de campo).
Para resolver, vamos precisar usar a definição de linha de força: a curva cuja tangente em cada ponto é paralela a .

Passo 2

A definição prática é montar as frações
dxEx = dyEy = dzEz,,
pois em cada ponto o vetor diferencial de posição está na direção de .

Passo 3

No nosso caso dz0;=;dx4x-2y Longrightarrow dz=0 , e .
Então da igualdade com vem
Logo a linha de força fica em plano paralelo a e passa por (pois o ponto dado tem ).

Passo 4

Agora só resta o pedaço em dx4x-2y ;=;dy-(2x+4y) :
(2x+4y),dx ;+;(4x-2y),dy = 0
Aí podemos reescrever como

Passo 5

Repare que isso é da forma M = 2x+4y, N = 4x-2y com
dphi = M,dx + N,dy
Verificamos se é exata:
e .
Como são iguais, existe uma função tal que

Passo 6

Para achar phi(x,y) = integral (2x+4y),dx = x^2 + 4xy + h(y) , integramos partialpartial y(x^2 + 4xy + h(y)) = 4x + h'(y) stackrel!= 4x - 2y em relação a phi(x,y) = x^2 + 4xy - y^2 :
Agora exigimos :
Logo , logo .
Então

Passo 7

Nas linhas de força phi(2,3) = 2^2 + 4cdot2cdot3 - 3^2 = 4 + 24 - 9 = 19 é constante. Para achar essa constante, plugamos o ponto x^2 + 4xy - y^2 = 19 e z = -4 :
Portanto a linha de força é dada por

Resposta

A equação da linha de força que passa por boxedx^2 ;+;4,x,y;-;y^2 = 19, z=-4 é

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