Demonstre matematicamente que o campo elétrico é conservativo mostrando que:
Discuta as hipóteses utilizadas.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, em eletrostática, que o campo elétrico
é conservativo, isto é, satisfaz
e
O conteúdo necessário envolve
– a expressão de em função do potencial elétrico
,
– o Teorema Fundamental do Cálculo Vetorial para gradiente,
– o Teorema de Stokes para ligar linha fechada e circulação de rotacional,
– e as hipóteses de eletrostática (campo estático, domínio simplesmente conectado e ausência de variação temporal de ).
– a expressão de
– o Teorema Fundamental do Cálculo Vetorial para gradiente,
– o Teorema de Stokes para ligar linha fechada e circulação de rotacional,
– e as hipóteses de eletrostática (campo estático, domínio simplesmente conectado e ausência de variação temporal de
Passo 2
Em eletrostática, definimos o potencial elétrico
tal que
Isso decorre diretamente da lei de Coulomb, que assegura que cada contribuição de carga pontual gera um campo que pode ser escrito como gradiente de um potencial escalar.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo Vetorial para gradientes, em qualquer curva de
até
:
Se a curva for fechada,
, portanto
mostrando a independência de caminho e a conservação de energia.
Passo 4
Para relacionar a circulação a
, usamos o Teorema de Stokes em uma superfície
qualquer com bordo
:
Como a integral de linha fechada é zero para todo
, o lado direito deve ser zero para qualquer superfície, o que implica
Passo 5
Discussão das hipóteses utilizadas:
– Eletrostática: supomos cargas fixas (campo elétrico não depende do tempo).
– Ausência de campo magnético variável: na forma completa de Maxwell–Faraday, ; aqui usamos
.
– Domínio simplesmente conectado: garante que não haja “buracos” no espaço impedindo a definição global do potencial .
– Campo definido em todo ponto: necessária para aplicar gradiente e Stokes em regiões consideradas.
– Eletrostática: supomos cargas fixas (campo elétrico não depende do tempo).
– Ausência de campo magnético variável: na forma completa de Maxwell–Faraday,
– Domínio simplesmente conectado: garante que não haja “buracos” no espaço impedindo a definição global do potencial
– Campo definido em todo ponto: necessária para aplicar gradiente e Stokes em regiões consideradas.
Resposta
Demonstra-se que, em eletrostática e em domínio simplesmente conectado,
partindo de
e usando o Teorema Fundamental para gradiente e o Teorema de Stokes.