Demonstre matematicamente que o campo elétrico é conservativo mostrando que:
\oint \vec{E} \cdot d \vec{l}=0 \quad \text { e } \quad \nabla \times \vec{E}=0
Discuta as hipóteses utilizadas.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, em eletrostática, que o campo elétrico \vec{E} é conservativo, isto é, satisfaz
\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = 0
e
\nabla\times \vec{E} = 0.
O conteúdo necessário envolve
– a expressão de \vec{E} em função do potencial elétrico V,
– o Teorema Fundamental do Cálculo Vetorial para gradiente,
– o Teorema de Stokes para ligar linha fechada e circulação de rotacional,
– e as hipóteses de eletrostática (campo estático, domínio simplesmente conectado e ausência de variação temporal de \vec{B}).

Passo 2

Em eletrostática, definimos o potencial elétrico V(\vec{r}) tal que
\vec{E}(\vec{r}) = -\nabla V(\vec{r}).
Isso decorre diretamente da lei de Coulomb, que assegura que cada contribuição de carga pontual gera um campo que pode ser escrito como gradiente de um potencial escalar.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo Vetorial para gradientes, em qualquer curva de A até B:
\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\int_A^B \nabla V\cdot d\vec{\ell} = -\bigl[V(B)-V(A)\bigr].
Se a curva for fechada, A\equiv B, portanto
\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\bigl[V(A)-V(A)\bigr] = 0,
mostrando a independência de caminho e a conservação de energia.

Passo 4

Para relacionar a circulação a \nabla\times\vec{E}, usamos o Teorema de Stokes em uma superfície S qualquer com bordo \partial S:
\oint_{\partial S} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = \iint_{S} \bigl(\nabla\times \vec{E}\bigr)\cdot d\vec{S}.
Como a integral de linha fechada é zero para todo \partial S, o lado direito deve ser zero para qualquer superfície, o que implica
\nabla\times \vec{E} = \vec{0}.

Passo 5

Discussão das hipóteses utilizadas:
Eletrostática: supomos cargas fixas (campo elétrico não depende do tempo).
Ausência de campo magnético variável: na forma completa de Maxwell–Faraday, \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t; aqui usamos \partial\vec{B}/\partial t=0.
Domínio simplesmente conectado: garante que não haja “buracos” no espaço impedindo a definição global do potencial V.
Campo definido em todo ponto: necessária para aplicar gradiente e Stokes em regiões consideradas.

Resposta

Demonstra-se que, em eletrostática e em domínio simplesmente conectado,
\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=0 \quad\text{e}\quad \nabla\times\vec{E}=0,
partindo de \vec{E}=-\nabla V e usando o Teorema Fundamental para gradiente e o Teorema de Stokes.

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