Um campo escalar
satisfaz
e
.
. Calcule
, onde
é a esfera
e
é a normal à esfera.
Passo 1
Resumindo, a gente tem um escalar φ definido no interior da bola unitária (sua fronteira é a esfera S²) que satisfaz duas equações: (i) ∥∇φ∥=4φ e (ii) ∇·(φ∇φ)=10φ. Vamos usar teoria de operadores diferenciais (gradiente, divergente) e o teorema da divergência para chegar em ∬_S ∂φ/∂n
ds.
Passo 2
Vamos aplicar o teorema da divergência à função φ: ∂φ/∂n em S é ∇φ·n. Então ∬_S ∂φ/∂n
ds = ∬_S (∇φ·n)
ds = ∭_V ∇·(∇φ)
ds = ∭_V Δφ
ds, onde V é a bola unitária. Precisamos achar Δφ em função de φ.
ds = ∬_S (∇φ·n)
ds = ∭_V ∇·(∇φ)
ds = ∭_V Δφ
ds, onde V é a bola unitária. Precisamos achar Δφ em função de φ.
Passo 3
Usamos a identidade de produto no divergente: ∇·(φ∇φ) = φ
Δφ + ∇φ·∇φ. Mas sabemos que ∇·(φ∇φ)=10φ e ∥∇φ∥²= (4φ)²=16φ². Logo
φ
Δφ + ∥∇φ∥² = 10φ ⇒ φ
Δφ + 16φ² =10φ ⇒ Δφ = 10/1 −16φ.
Passo 4
Substituindo em ∬_S ∂φ/∂n
ds = ∭_V Δφ
ds, obtemos
ds = ∭_V Δφ
ds, obtemos
∬_S ∂φ/∂n
ds = ∭_V (10 −16φ)
ds =10
ds = ∭_V (10 −16φ)
ds =10
Vol(V) −16
∭_V φ
ds.
ds.
Passo 5
Como V é a bola de raio 1 em R³, Vol(V)=4π/3. Portanto
∬_S ∂φ/∂n
ds =10·(4π/3) −16
ds =10·(4π/3) −16
∭_V φ
ds = 40π/3 −16 ∭_V φ
ds.
ds = 40π/3 −16 ∭_V φ
ds.