Um campo escalar phi satisfaz |nabla phi|=4 phi e nabla. (phi nabla phi)=10 phi. Calcule integral duplaS partial phipartial n d S, onde S é a esfera S^2 e n é a normal à esfera.

Passo 1

Resumindo, a gente tem um escalar φ definido no interior da bola unitária (sua fronteira é a esfera S²) que satisfaz duas equações: (i) ∥∇φ∥=4φ e (ii) ∇·(φ∇φ)=10φ. Vamos usar teoria de operadores diferenciais (gradiente, divergente) e o teorema da divergência para chegar em ∬_S ∂φ/∂n
ds.

Passo 2

Vamos aplicar o teorema da divergência à função φ: ∂φ/∂n em S é ∇φ·n. Então ∬_S ∂φ/∂n
ds = ∬_S (∇φ·n)
ds = ∭_V ∇·(∇φ)
ds = ∭_V Δφ
ds, onde V é a bola unitária. Precisamos achar Δφ em função de φ.

Passo 3

Usamos a identidade de produto no divergente: ∇·(φ∇φ) = φ
Δφ + ∇φ·∇φ. Mas sabemos que ∇·(φ∇φ)=10φ e ∥∇φ∥²= (4φ)²=16φ². Logo
φ
Δφ + ∥∇φ∥² = 10φ ⇒ φ
Δφ + 16φ² =10φ ⇒ Δφ = 10/1 −16φ.

Passo 4

Substituindo em ∬_S ∂φ/∂n
ds = ∭_V Δφ
ds, obtemos
∬_S ∂φ/∂n
ds = ∭_V (10 −16φ)
ds =10
Vol(V) −16
∭_V φ
ds.

Passo 5

Como V é a bola de raio 1 em R³, Vol(V)=4π/3. Portanto
∬_S ∂φ/∂n
ds =10·(4π/3) −16
∭_V φ
ds = 40π/3 −16 ∭_V φ
ds.

Resposta

integral duplaS partial phipartial n ,dS = 10,Vol(V)-16integralVphi,dV = 40pi3-16!!integralVphi,dV, onde V é a bola interior a S².

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