Usando mudanûÏa de variûÀveis, calcular $ \iint_{A} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $ com integral duplaA f(x, y) d x d y e f definidos por :
A e f(x, y)=raiz[3]y-x1+y+x ûˋ o triûÂngulo de vûˋrtices A e (0,0),(1,0);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaA f(x,y),dx,dy, com f(x,y)=raiz[3]y-x1+y+x e A o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1). O conteúdo principal é mudança de variáveis para simplificar a expressão em termos de y-x e x+y.

Passo 2

Para tirar proveito de y-x e x+y que aparecem em f, definimos as novas variáveis
u = y - x,
v = x + y
Invertendo, temos
x = v - u2,
y = u + v2

Passo 3

Precisamos do valor absoluto do jacobiano dessa transformação. Calculando a matriz jacobiana:
partial(x,y)partial(u,v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = -tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12
O determinante é
det = l(-tfrac12r)l(tfrac12r) - l(tfrac12r)l(tfrac12r) = -tfrac14 - tfrac14 = -tfrac12,
logo |J| = tfrac12.

Passo 4

Agora descrevemos a região A em termos de (u,v). Em A temos:
  • x>=0 implica v-u>=0 ou u<= v.
  • y>=0 implica u+v>=0 ou u>= -v.
  • x+y<=1 implica v<=1.
    Portanto v varia de 0 a 1 e, para cada v, u vai de -v a v.

Passo 5

A integral transforma-se em
integral duplaA f(x,y),dx,dy = integralv=0^1integralu=-v^vraiz[3]u1+v;l|Jr|,du,dv = 12integral0^111+vl(integral-v^vu^1/3,dur)dv
Como u^1/3 é função ímpar e o intervalo de integração em u é simétrico (de -v a v), a integral interna é zero.

Passo 6

Por causa da simetria ímpar em u, temos
integral-v^vu^1/3,du = 0
para todo v. Assim a integral dupla vale zero.

Resposta

0

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