Usando mudanûÏa de variûÀveis, calcular $ \iint_{A} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $ com e definidos por : e ûˋ o triûÂngulo de vûˋrtices e ;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla , com e o triângulo de vértices , e . O conteúdo principal é mudança de variáveis para simplificar a expressão em termos de e .
Passo 2
Para tirar proveito de e que aparecem em , definimos as novas variáveis
Invertendo, temos
Passo 3
Precisamos do valor absoluto do jacobiano dessa transformação. Calculando a matriz jacobiana:
O determinante é
logo .
Passo 4
Agora descrevemos a região em termos de . Em temos:
implica ou .
implica ou .
implica .
Portanto varia de 0 a 1 e, para cada , vai de a .
Passo 5
A integral transforma-se em
Como u^1/3 é função ímpar e o intervalo de integração em u é simétrico (de -v a v), a integral interna é zero.