Potências de seno e cosseno:
integral sen^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin^3(x),dx. O conteúdo envolvido é integração de potências de funções trigonométricas, usando identidades trigonométricas e substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos sin^3(x) como sin(x)sin^2(x) e usamos a identidade sin^2(x)=1-cos^2(x):
sin^3(x)=sin(x)l(1-cos^2(x)r)
Isso transforma a integral em
integral sin^3(x),dx=integral sin(x),dx-integral sin(x)cos^2(x),dx

Passo 3

Separamos em duas partes: integral sin(x),dx e integral sin(x)cos^2(x),dx. A primeira é direta, pois sabemos que a derivada de cos(x) é -sin(x).
Para a primeira parte usamos que
integral sin(x),dx=-cos(x)+C1

Passo 4

Para a segunda parte fazemos a substituição u=cos(x), de onde du=-sin(x),dx. Assim:
integral sin(x)cos^2(x),dx=integral -u^2,du=-u^33+C2

Passo 5

Voltando a x pela relação u=cos(x) e somando as duas partes (combinando as constantes em C), obtemos:
integral sin^3(x),dx=-cos(x)-l(-tfraccos^3(x)3r)+C=-cos(x)+cos^3(x)3+C

Resposta

-\cos(x)+\frac{\cos^3(x)}{3}+C

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