Uma lâmina tem a forma de um semidisco de raio a. A densidade de massa por unidade de superfície é proporcional à distância de cada ponto ao centro do disco. Determine o valor da constante de proporcionalidade K se a massa do semidisco for pi a^3 u. m.
[
(\mathrm{K}=3)

Passo 1

Estamos lidando com um semidisco de raio a cuja densidade superficial de varia com a distância ao centro, ou seja, de. Para achar K precisamos usar cálculo de área e polar.

Passo 2

A massa total é dada por M=integral duplasemidiscode. Substituindo de temos M=integral duplasemidiscoK,r,dA.

Passo 3

Em coordenadas polares dA=r,dr,dtheta, com r de 0 a a e theta de 0 a pi. Logo:
M = integral0^piintegral0^aK,r;r,dr,dtheta = Kintegral0^pidthetaintegral0^ar^2dr = K,pi,a^33

Passo 4

Igualando M=K,pi,a^3/3 ao valor dado pi a^3, obtemos K,pi,a^3/3=pi a^3. Daí segue que K=3.

Resposta

K = 3

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