Uma lâmina tem a forma de um semidisco de raio a. A densidade de massa por unidade de superfície é proporcional à distância de cada ponto ao centro do disco. Determine o valor da constante de proporcionalidade K se a massa do semidisco for
u. m.
[
(\mathrm{K}=3)
(\mathrm{K}=3)
Passo 1
Estamos lidando com um semidisco de raio
cuja densidade superficial
varia com a distância ao centro, ou seja,
. Para achar
precisamos usar cálculo de área e polar.
Passo 2
A massa total é dada por
. Substituindo
temos
.
Passo 3
Em coordenadas polares
, com
de 0 a
e
de 0 a
. Logo:
Passo 4
Igualando
ao valor dado
, obtemos
. Daí segue que
.
Resposta
K = 3