Determine os momentos de inercia
, e
de um disco homogêneo de raio a no SI.
[
\left(I_{x}=I_{y}=\frac{I_{z}}{2}=\frac{\pi \rho a^{4}}{4} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}\right)
\left(I_{x}=I_{y}=\frac{I_{z}}{2}=\frac{\pi \rho a^{4}}{4} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}\right)
Passo 1
Resumindo o enunciado, precisamos encontrar os momentos de inércia
,
e
de um disco homogêneo de raio
e densidade superficial
. O conteúdo envolve a definição de momento de inércia
e o uso de coordenadas polares para parametrizar a massa.
Passo 2
Para calcular
, que é o momento de inércia em torno do eixo perpendicular ao plano do disco, notamos que a distância perpendicular ao eixo é
. Como
, temos:
Passo 3
Para calcular
(e por simetria
), consideramos o eixo no plano do disco. A distância perpendicular ao eixo
é
. Então
Passo 4
Comparando os resultados, concluímos que
e
, de modo que
.