Determine os momentos de inercia Ix, Iy, e Iz de um disco homogêneo de raio a no SI.
[
\left(I_{x}=I_{y}=\frac{I_{z}}{2}=\frac{\pi \rho a^{4}}{4} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}\right)

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos encontrar os momentos de inércia Ix, Iy e Iz de um disco homogêneo de raio a e densidade superficial rho. O conteúdo envolve a definição de momento de inércia I=integral rperp^2,dm e o uso de coordenadas polares para parametrizar a massa.

Passo 2

Para calcular Iz, que é o momento de inércia em torno do eixo perpendicular ao plano do disco, notamos que a distância perpendicular ao eixo é rperp=r. Como dm=rho,dA=rho,r,dr,dtheta, temos:
Iz=integral0^2pi!integral0^a r^2,(rho,r,dr,dtheta) =2pirhointegral0^a r^3,dr =pirho a^42

Passo 3

Para calcular Ix (e por simetria Iy), consideramos o eixo no plano do disco. A distância perpendicular ao eixo x é y=rsintheta. Então
Ix=integral y^2,dm =integral0^2pi!integral0^a (rsintheta)^2,(rho,r,dr,dtheta) =rhointegral0^a r^3,drintegral0^2pisin^2theta,dtheta =pirho a^44

Passo 4

Comparando os resultados, concluímos que Ix=Iy=pirho a^44 e Iz=pirho a^42, de modo que Ix=Iy=tfracIz2.

Resposta

Ix = Iy = pirho a^44, Iz = pirho a^42.

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