Um campo de forças F(x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j, em que P, Q: A R, A um aberto de R^2, chama-se conservativo se existe uma função, chamada potencial, varphi: A R tal que
nabla varphi(x, y)=F(x, y), forall(x, y) in A
Verifique se os campos abaixo são conservativos:
a) F(x, y)=(x, y).
b) F(x, y)=y i+(x+2 y) j.
c) F(x, y)=x i+y j(x^2+y^2)^3 / 2.

Passo 1

O enunciado define um campo de forças vec F(x,y) = P(x,y),vec i + Q(x,y),vec j. Em um domínio aberto e simplesmente conexo Asubset R^2, um campo é conservativo se, e somente se,\r
partial Ppartial y(x,y) ;=;partial Qpartial x(x,y)forall(x,y)in A\r
Para achar o potencial varphi, basta integrar P em x (e incluir uma “função de y”), depois ajustar pelo termo em y via a igualdade com Q.

Passo 2

a) Temos P(x,y)=x e Q(x,y)=y, domínio A= R^2 (convexo). Calculemos\r
partial Ppartial y(x,y)=0, partial Qpartial x(x,y)=0,\r
logo são iguais e o campo é conservativo. Para o potencial:\r
varphi(x,y)=integral P,dx = integral x,dx = tfrac12 x^2 + g(y)\r
Derivando em y: varphiy = g'(y) deve ser igual a Q=y, então g'(y)=y e g(y)=tfrac12y^2+C. Assim\r
varphi(x,y)=tfrac12x^2+tfrac12y^2 + C

Passo 3

b) Aqui P(x,y)=y e Q(x,y)=x+2y, domínio A= R^2. Verificamos\r
partial Ppartial y(x,y)=1, partial Qpartial x(x,y)=1,\r
logo é conservativo. Para varphi:\r
varphi(x,y)=integral P,dx=integral y,dx = x,y + h(y)\r
Então varphiy = x + h'(y) deve ser Q=x+2y, o que dá h'(y)=2y e h(y)=y^2+C. Portanto\r
varphi(x,y)=x,y + y^2 + C

Passo 4

c) Agora \r
vec F(x,y)=x,vec i + y,vec j(x^2+y^2)^3/2, A= R^2setminus(0,0)\r
Calculemos \r
\r
Como são iguais em A, o campo é irrotacional. Podemos achar diretamente o potencial observado que\r
varphi(x,y)=-1raizx^2+y^2 + C,\r
pois\r

Resposta

a) Conservativo, varphi(x,y)=tfrac12(x^2+y^2)+C.\n
b) Conservativo, varphi(x,y)=x,y+y^2+C.\n
c) Conservativo em R^2setminus0, varphi(x,y)=-1raizx^2+y^2+C.\n

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