Um campo de forças
, em que
um aberto de
, chama-se conservativo se existe uma função, chamada potencial,
tal que
Verifique se os campos abaixo são conservativos:
a)
.
b)
.
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado define um campo de forças
. Em um domínio aberto e simplesmente conexo
, um campo é conservativo se, e somente se,\r
Para achar o potencial
, basta integrar
em
(e incluir uma “função de
”), depois ajustar pelo termo em
via a igualdade com
.
Passo 2
a) Temos
e
, domínio
(convexo). Calculemos\r
logo são iguais e o campo é conservativo. Para o potencial:\r
Derivando em
:
deve ser igual a
, então
e
. Assim\r
Passo 3
b) Aqui
e
, domínio
. Verificamos\r
logo é conservativo. Para
:\r
Então
deve ser
, o que dá
e
. Portanto\r
Passo 4
c) Agora \r
Calculemos \r
\r
Como são iguais em
, o campo é irrotacional. Podemos achar diretamente o potencial observado que\r
pois\r
Resposta
a) Conservativo,
.\n
b) Conservativo, .\n
c) Conservativo em ,
.\n
b) Conservativo,
c) Conservativo em