Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule
a superfície
0 e
, sendo
a normal unitária com componente
positiva.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes, que diz
Aqui temos
e
é o quarto de cilindro dado por
com normal unitária apontando radialmente para fora (logo com componente
positiva).
Passo 2
A fronteira
é união de quatro curvas:
-
: círculo de raio 1 em , de a , com de a . -
: círculo de raio 1 em , de a , com de a 0. - As arestas verticais em
e , que ligam a e a .
Por simetria e porque nessas arestas
é paralelo ao eixo
enquanto
não tem componente em
, as integrais sobre as arestas verticais são zero. Logo só restam
e
.
Passo 3
Parametrizamos
com
de
a
. Então
Passo 4
Para
tomamos
com
de
a 0. Segue
Passo 5
Somando as contribuições não nulas: