Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral integral duplasigmalang<= r o t F, nrang<= d S numa integral de linha e calcule
F(x, y, z)=(y, 0,0), sigma a superfície x^2+y^2+z^2=2, x^2+y^2 <= 1 e z >= 0, sendo n a normal unitária apontando para cima.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes, que diz que
integral duplasigmalang<= rotF, nrang<=,dS =ointpartialsigmaFcdot d r
Aqui temos F(x,y,z)=(y,0,0) e sigma é o “cap” da esfera x^2+y^2+z^2=2 com x^2+y^2<=1 e z>=0, e n é a normal unitária com componente z positiva.

Passo 2

A fronteira partialsigma é o círculo de interseção da esfera com o cilindro x^2+y^2=1 em z=raiz2-1=1. Como n aponta para cima, a orientação induzida em partialsigma é anti-horária vista de cima. Logo
integral duplasigmalang<= rotF, nrang<=,dS =ointpartialsigmaFcdot dr

Passo 3

Parametrizamos partialsigma por
r(t)=(cos t,;sin t,;1), tin[0,2pi],
então
dr=(-sin t,;cos t,;0),dt, F(r(t))=(sin t,0,0)
O produto escalar é
F(r(t))cdot dr =(sin t,0,0)cdot(-sin t,cos t,0),dt =-sin^2t,dt

Passo 4

Portanto
ointpartialsigmaFcdot dr =integral0^2pi(-sin^2t),dt =-integral0^2pisin^2t,dt =-pi

Resposta

integral duplasigmalang<= rotF, nrang<=,dS =-pi

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