Um projétil no plano xy , com y apontando para cima e
um eixo horizontal, é disparado com uma velocidade inicial de módulo igual a
e com um ângulo igual a
em relação ao eixo
horizontal. Se há uma força de atrito linear entre o ar e o projétil dada por:
, determine, em função do ângulo
, b e de t:
Faça a seguinte expansão quadrática aproximada:
, e escreva as soluções aproximadas
e
para este caso.
Faça a seguinte expansão quadrática aproximada:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta trata do movimento de um projétil no plano xy, levando em conta a resistência do ar que atua de forma linear com a velocidade. O conteúdo envolve física de movimentos com forças resistivas e um pouco de matemática para aproximar soluções de equações diferenciais usando uma expansão quadrática. Vamos precisar entender as equações de movimento com resistência do ar e aplicar a aproximação fornecida para encontrar as posições aproximadas $ x_{aprox}(t) $ e $ y_{aprox}(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as componentes da velocidade inicial do projétil. Se ele é lançado com velocidade inicial $ v_0 $ e ângulo $ \theta $, então:
Essas são as velocidades iniciais nas direções x e y, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças atuantes no projétil. Há a força de atrito do ar, que é proporcional à velocidade e atua na direção oposta:
Aqui, $ b $ é a constante de resistência do ar e $ \vec{v} $ é o vetor velocidade.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton ($ \vec{F} = m \vec{a} $), podemos escrever as equações de movimento nas direções x e y:
Para a direção x:
Para a direção y:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Vamos simplificar essas equações dividindo ambos os lados por $ m $:
Para x:
Para y:
Essas são equações diferenciais lineares que descrevem como as velocidades mudam com o tempo.
Passo 6
Resolvendo a equação para $ v_x $:
A solução dessa equação é:
Mas, como queremos uma aproximação quadrática para $ e^{a t} $, onde $ a = -\frac{b}{m} $, aplicamos:
Então,
Passo 7
Para encontrar a posição $ x(t) $, integramos $ v_x(t) $ em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Mas como estamos fazendo uma aproximação quadrática, podemos ignorar o termo do $ t^3 $:
Passo 8
Agora, vamos resolver para a direção y. A equação diferencial é:
Essa é uma equação diferencial linear e sua solução geral é:
Usando a aproximação quadrática para $ e^{-\frac{b}{m} t} $:
Substituindo na expressão de $ v_y(t) $:
Simplificando e mantendo apenas termos até $ t^2 $:
Passo 9
Integrando $ v_y(t) $ para encontrar $ y(t) $:
Integrando termo a termo:
Novamente, ignorando o termo do $ t^3 $ pela aproximação quadrática:
Resposta
As soluções aproximadas são: