Um projétil no plano xy , com y apontando para cima e x um eixo horizontal, é disparado com uma velocidade inicial de módulo igual a v0 e com um ângulo igual a theta em relação ao eixo x horizontal. Se há uma força de atrito linear entre o ar e o projétil dada por: F=-b v, determine, em função do ângulo theta, b e de t:
Faça a seguinte expansão quadrática aproximada: e^a t approx 1+a t+a^2 t^22, e escreva as soluções aproximadas x aprox (t) e y aprox (t) para este caso.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta trata do movimento de um projétil no plano xy, levando em conta a resistência do ar que atua de forma linear com a velocidade. O conteúdo envolve física de movimentos com forças resistivas e um pouco de matemática para aproximar soluções de equações diferenciais usando uma expansão quadrática. Vamos precisar entender as equações de movimento com resistência do ar e aplicar a aproximação fornecida para encontrar as posições aproximadas $ x_{aprox}(t) $ e $ y_{aprox}(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as componentes da velocidade inicial do projétil. Se ele é lançado com velocidade inicial $ v_0 $ e ângulo $ \theta $, então:
v0
Essas são as velocidades iniciais nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças atuantes no projétil. Há a força de atrito do ar, que é proporcional à velocidade e atua na direção oposta:
F = -b v
Aqui, $ b $ é a constante de resistência do ar e $ \vec{v} $ é o vetor velocidade.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton ($ \vec{F} = m \vec{a} $), podemos escrever as equações de movimento nas direções x e y:
Para a direção x:
F = m a
Para a direção y:
m dvxdt = -b vx
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Vamos simplificar essas equações dividindo ambos os lados por $ m $:
Para x:
m
Para y:
dvxdt = -bm vx
Essas são equações diferenciais lineares que descrevem como as velocidades mudam com o tempo.

Passo 6

Resolvendo a equação para $ v_x $:
vx
A solução dessa equação é:
dvxdt + bm vx = 0
Mas, como queremos uma aproximação quadrática para $ e^{a t} $, onde $ a = -\frac{b}{m} $, aplicamos:
vx(t) = v0x e^-bm t
Então,
e^a t

Passo 7

Para encontrar a posição $ x(t) $, integramos $ v_x(t) $ em relação ao tempo:
x(t)
Integrando termo a termo:
vx(t)
Mas como estamos fazendo uma aproximação quadrática, podemos ignorar o termo do $ t^3 $:
x(t) = integral vx(t) dt approx integral v0x (1 - bm t + b^22 m^2 t^2 ) dt

Passo 8

Agora, vamos resolver para a direção y. A equação diferencial é:
dvydt + bm vy = -g
Essa é uma equação diferencial linear e sua solução geral é:
vy(t) = (v0y + m gb) e^-bm t - m gb
Usando a aproximação quadrática para $ e^{-\frac{b}{m} t} $:
e^-bm t
Substituindo na expressão de $ v_y(t) $:
e^-bm t approx 1 - bm t + b^22 m^2 t^2
Simplificando e mantendo apenas termos até $ t^2 $:
vy(t)

Passo 9

Integrando $ v_y(t) $ para encontrar $ y(t) $:
vy(t)
Integrando termo a termo:
y(t)
Novamente, ignorando o termo do $ t^3 $ pela aproximação quadrática:
y(t) = integral vy(t) dt approx integral [ v0 sin(theta) (1 - bm t + b^22 m^2 t^2 ) - g t ] dt

Resposta

As soluções aproximadas são:
xaprox(t) approx v0 cos(theta) ( t - b2 m t^2 )
yaprox(t) approx v0 sin(theta) ( t - b2 m t^2 ) - g2 t^2

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