Determine as soluções para o sistema massa-mola-amortecedor para:
m=1 kg, c=30 Ns / m e k =200 N / m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o sistema massa-mola-amortecedor. A gente tem uma massa de 1 kg, um amortecedor com constante c = 30 Ns/m e uma mola com constante k = 200 N/m. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais para modelar o movimento desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que descreve o movimento desse sistema massa-mola-amortecedor. A equação geral é:
m cdot x''(t) + c cdot x'(t) + k cdot x(t) = 0
Onde:
  • $ m $ é a massa,
  • $ c $ é a constante de amortecimento,
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ x(t) $ é o deslocamento da massa em função do tempo,
  • $ x’(t) $ e $ x’’(t) $ são, respectivamente, a primeira e a segunda derivadas de $ x(t) $ em relação ao tempo.

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos no enunciado na equação:
1 cdot x''(t) + 30 cdot x'(t) + 200 cdot x(t) = 0
Simplificando:
x''(t) + 30x'(t) + 200x(t) = 0

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
r^2 + 30r + 200 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 30r + 200 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 30r + 200 = 0
Onde:
  • $ a = 1 $,
  • $ b = 30 $,
  • $ c = 200 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 6

Com o discriminante positivo ($ \Delta = 100 $), temos duas raízes reais e distintas:
De
Calculando as duas raízes:
r = -30 pm raiz1002 cdot 1 = -30 pm 102

Passo 7

Com as raízes $ r_1 = -10 $ e $ r_2 = -20 $, a solução geral da equação diferencial é:
r1 = -10
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais do problema.

Passo 8

Portanto, as soluções para o sistema massa-mola-amortecedor com os valores dados são combinações lineares das funções exponenciais $ e^{-10t} $ e $ e^{-20t} $.

Resposta

A solução geral do sistema massa-mola-amortecedor é:
x(t) = C1 e^-10t + C2 e^-20t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados