Determine as soluções para o sistema massa-mola-amortecedor para:
e k
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o sistema massa-mola-amortecedor. A gente tem uma massa de 1 kg, um amortecedor com constante c = 30 Ns/m e uma mola com constante k = 200 N/m. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais para modelar o movimento desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que descreve o movimento desse sistema massa-mola-amortecedor. A equação geral é:
Onde:
- $ m $ é a massa,
- $ c $ é a constante de amortecimento,
- $ k $ é a constante da mola,
- $ x(t) $ é o deslocamento da massa em função do tempo,
- $ x’(t) $ e $ x’’(t) $ são, respectivamente, a primeira e a segunda derivadas de $ x(t) $ em relação ao tempo.
Passo 3
Substituindo os valores fornecidos no enunciado na equação:
Simplificando:
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 30r + 200 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 1 $,
- $ b = 30 $,
- $ c = 200 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 6
Com o discriminante positivo ($ \Delta = 100 $), temos duas raízes reais e distintas:
Calculando as duas raízes:
Passo 7
Com as raízes $ r_1 = -10 $ e $ r_2 = -20 $, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais do problema.
Passo 8
Portanto, as soluções para o sistema massa-mola-amortecedor com os valores dados são combinações lineares das funções exponenciais $ e^{-10t} $ e $ e^{-20t} $.
Resposta
A solução geral do sistema massa-mola-amortecedor é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.