( 2,0 pontos) Para a seguinte matriz:
X=\left(\begin{array}{ccc} 2 & i & 0 \\\\ -i & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
(a) Mostre que os autovalores são (2, i,-i).
(b) Encontre os autovetores da matriz e normalize-os.
(c) Construa uma matriz de transformação S, encontre sua inversa e mostre que ela diagonaliza X.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
X = \begin{pmatrix} 2 & i & 0\\\\ -\,i & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e afirma que os autovalores seriam (2,i,-i). Vamos verificar os autovalores de fato, construindo o polinômio característico de X.

Passo 2

O polinômio característico é
\det(X - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & i & 0\\\\ -\,i & -2-\lambda& 0\\\\ 0 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}.
Como o bloco inferior é diagonal, esse determinante separa-se em
\det(X - \lambda I) = (-\lambda)\,\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & i\\\\ -\,i & -2-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculemos o determinante do bloco 2\times2:
\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & i\\\\ -\,i & -2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(-2-\lambda)\;-\;i\,(-\,i).
Multiplicando,
(2-\lambda)(-2-\lambda) = -\bigl((2-\lambda)(2+\lambda)\bigr) = -\,(4 - \lambda^2) = \lambda^2 - 4,
e
i\,(-\,i) = -\,i^2 = -\,(-1) = 1.
Logo
\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & i\\\\ -\,i & -2-\lambda \end{pmatrix} = (\lambda^2 - 4) - 1 = \lambda^2 - 5.

Passo 4

Portanto o polinômio característico completo é
\det(X - \lambda I) = -\,\lambda\,(\lambda^2 - 5) = -\bigl(\lambda^3 - 5\lambda\bigr)
e as raízes dele são
\lambda=0, \quad \lambda^2=5 \;\Longrightarrow\; \lambda=\pm\sqrt{5}.

Passo 5

Concluímos que os autovalores de X são
0,\; \sqrt{5},\; -\sqrt{5},
e não (2,i,-i). Há, portanto, uma inconsistência no enunciado: os autovalores dados não coincidem com os autovalores reais da matriz.

Resposta

Os autovalores reais de
X = \begin{pmatrix} 2 & i & 0\\\\ -\,i & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
são
0,\;\sqrt{5},\;-\sqrt{5},
logo o conjunto (2,i,-i) informado não é o correto para esta matriz.

Exercícios relacionados