Ex 6. Um campo de gravidade é descrito por G(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x y e queremos encontrar os extremos sob a restrição x^{2}+4 y^{2}=8. Use o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

O enunciado pede os extremos condicionados da função
\displaystyle G(x,y)=x^{2}+y^{2}-2xy
sob a restrição
\displaystyle x^{2}+4y^{2}=8.
O conteúdo é extremos com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que exige formar a função de Lagrange, calcular derivadas parciais e resolver o sistema resultante junto com a restrição.

Passo 2

Definimos o lagrangeano
L(x,y,\lambda)=x^{2}+y^{2}-2xy \;-\;\lambda\bigl(x^{2}+4y^{2}-8\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial L}{\partial x}=2x-2y-2\lambda x=0 \quad\Longrightarrow\quad (1-\lambda)x-y=0,
\frac{\partial L}{\partial y}=2y-2x-8\lambda y=0 \quad\Longrightarrow\quad -y(4\lambda-1)+x=0 \quad\Longrightarrow\quad (1-4\lambda)y-x=0,
e a restrição
x^{2}+4y^{2}=8.

Passo 4

Das duas primeiras equações temos
\;y=(1-\lambda)x; e \;x=(1-4\lambda)y.
Substituindo y=(1-\lambda)x em x=(1-4\lambda)y
x=(1-4\lambda)(1-\lambda)x
que leva a
(1-4\lambda)(1-\lambda)=1 \quad\Longrightarrow\quad 4\lambda^{2}-5\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=0\;\text{ou}\;\lambda=\tfrac{5}{4}.
Caso \lambda=0: y=x. Da restrição surge
x^{2}+4x^{2}=8 \quad\Longrightarrow\quad 5x^{2}=8 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{8}{5}}, \quad y=x.
Caso \lambda=\tfrac{5}{4}: y=(1-\tfrac{5}{4})x=-\tfrac{1}{4}x. Da restrição
x^{2}+4\bigl(-\tfrac{x}{4}\bigr)^{2}=8 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+\tfrac{x^{2}}{4}=8 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{5x^{2}}{4}=8 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{32}{5}}, \quad y=-\tfrac{x}{4}.
(Solução x=0,y=0 viola a restrição e é descartada.)

Passo 5

Calculamos G nos pontos encontrados.
Para x=y=\pm\sqrt{\tfrac{8}{5}}:
G=x^{2}+y^{2}-2xy =2x^{2}-2x^{2}=0.
Para x=\pm\sqrt{\tfrac{32}{5}},\;y=-\tfrac{x}{4}:
x^{2}=\tfrac{32}{5},\quad y^{2}=\tfrac{2}{5},\quad xy=-\tfrac{8}{5},
G=x^{2}+y^{2}-2xy =\tfrac{32}{5}+\tfrac{2}{5}-2\bigl(-\tfrac{8}{5}\bigr) =\tfrac{34}{5}+\tfrac{16}{5}=10.

Passo 6

Como a restrição define uma curva fechada e G é contínua, esses são extremos globais.

Resposta

Mínimos globais \bigl(G_{\min}=0\bigr) em
\bigl(x,y\bigr) =\Bigl(\sqrt{\tfrac{8}{5}},\sqrt{\tfrac{8}{5}}\Bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(x,y\bigr) =\Bigl(-\sqrt{\tfrac{8}{5}},-\sqrt{\tfrac{8}{5}}\Bigr).
Máximos globais \bigl(G_{\max}=10\bigr) em
\bigl(x,y\bigr) =\Bigl(\sqrt{\tfrac{32}{5}},-\tfrac{1}{4}\sqrt{\tfrac{32}{5}}\Bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(x,y\bigr) =\Bigl(-\sqrt{\tfrac{32}{5}},\tfrac{1}{4}\sqrt{\tfrac{32}{5}}\Bigr).

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