Ex 6. Um campo de gravidade é descrito por
e queremos encontrar os extremos sob a restrição
. Use o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
O enunciado pede os extremos condicionados da função
sob a restrição
.
O conteúdo é extremos com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que exige formar a função de Lagrange, calcular derivadas parciais e resolver o sistema resultante junto com a restrição.
sob a restrição
O conteúdo é extremos com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que exige formar a função de Lagrange, calcular derivadas parciais e resolver o sistema resultante junto com a restrição.
Passo 2
Definimos o lagrangeano
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
e a restrição
Passo 4
Das duas primeiras equações temos
; e
.
Substituindo em
dá
Substituindo
que leva a
Caso
:
. Da restrição surge
Caso
:
. Da restrição
(Solução
viola a restrição e é descartada.)
Passo 5
Calculamos
nos pontos encontrados.
Para :
Para
Para
:
Passo 6
Como a restrição define uma curva fechada e
é contínua, esses são extremos globais.
Resposta
Mínimos globais
em
Máximos globais
em