Ex 5. A função G(x, y)=x^{2}+3 x y representa uma certa energia em uma superfície. Sabendo que os pontos (x, y) devem satisfazer a equação da reta x+y=2, encontre os pontos onde G atinge seus valores extremos.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos em que a função
G(x,y) = x^{2} + 3xy
atinge extremos sujeito à restrição linear
x + y = 2.
O conteúdo aqui é otimização com restrição de igualdade; podemos usar substituição ou o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Vamos usar substituição: da reta x + y = 2 temos
y = 2 - x.
Substituindo em G, obtemos uma função de uma única variável x.

Passo 3

Substituindo y = 2 - x em G(x,y)
G(x) = x^{2} + 3x(2 - x) = x^{2} + 6x - 3x^{2} = -2x^{2} + 6x.

Passo 4

Para encontrar extremos, derivamos G(x) e igualamos a zero:
G'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-2x^{2} + 6x\bigr) = -4x + 6,
-4x + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
Então
y = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.
A segunda derivada é
G''(x) = -4 < 0,
portanto esse ponto é um máximo local (e também global, dado o formato de concavidade).

Passo 5

Como a reta x+y=2 é ilimitada em ambos os sentidos e o termo dominante de G(x)=-2x^{2}+6x tende a -\infty quando \lvert x\rvert\to\infty, não há valor mínimo global (ou seja, G é não limitada abaixo).

Resposta

O único ponto de extremo é um máximo em
\bigl(x,y\bigr) = \Bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{1}{2}\Bigr),
com valor
G\bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{9}{2}.
Não existe ponto de mínimo global.

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