Ex 5. A função
representa uma certa energia em uma superfície. Sabendo que os pontos
devem satisfazer a equação da reta
, encontre os pontos onde
atinge seus valores extremos.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos em que a função
atinge extremos sujeito à restrição linear
O conteúdo aqui é otimização com restrição de igualdade; podemos usar substituição ou o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Vamos usar substituição: da reta
temos
Substituindo em
, obtemos uma função de uma única variável
.
Passo 3
Substituindo
em
dá
Passo 4
Para encontrar extremos, derivamos
e igualamos a zero:
Então
A segunda derivada é
portanto esse ponto é um máximo local (e também global, dado o formato de concavidade).
Passo 5
Como a reta
é ilimitada em ambos os sentidos e o termo dominante de
tende a
quando
, não há valor mínimo global (ou seja,
é não limitada abaixo).
Resposta
O único ponto de extremo é um máximo em
com valor
Não existe ponto de mínimo global.