Ex 4. Um bloco desliza sobre uma superfície curva sujeita à energia potencial
, com a restrição
. Use multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos onde a energia potencial é extrema.
Passo 1
O enunciado pede determinar os extremos de
sujeito à restrição
O conteúdo aqui é multiplicadores de Lagrange: vamos montar a Lagrangiana e resolver o sistema das derivadas parciais.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana
As condições de extremo exigem
Passo 3
Das duas primeiras igualdades segue
Subtraindo-as:
Usando
obtemos
Passo 4
Para classificar o extremo, olhamos a Hessiana de
:
Na reta
, um vetor tangente satisfaz
, por exemplo
. Então
o que indica mínimo.
Resposta
O único ponto extremo é
, onde
atinge um mínimo.