Ex 4. Um bloco desliza sobre uma superfície curva sujeita à energia potencial E(x, y)=x^{2}+y^{2}+x y, com a restrição x+y=2. Use multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos onde a energia potencial é extrema.

Passo 1

O enunciado pede determinar os extremos de
E(x,y)=x^{2}+y^{2}+xy
sujeito à restrição
x+y=2.
O conteúdo aqui é multiplicadores de Lagrange: vamos montar a Lagrangiana e resolver o sistema das derivadas parciais.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana
L(x,y,\lambda)=x^{2}+y^{2}+xy-\lambda\,(x+y-2).
As condições de extremo exigem
\frac{\partial L}{\partial x}=2x+y-\lambda=0,\quad \frac{\partial L}{\partial y}=2y+x-\lambda=0,\quad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x+y-2)=0.

Passo 3

Das duas primeiras igualdades segue
2x+y=\lambda \quad\text{e}\quad x+2y=\lambda.
Subtraindo-as:
(2x+y)-(x+2y)=0\;\Rightarrow\;x-y=0\;\Rightarrow\;x=y.
Usando x+y=2 obtemos
x=y=1.

Passo 4

Para classificar o extremo, olhamos a Hessiana de E:
H=\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix}.
Na reta x+y=2, um vetor tangente satisfaz v_1+v_2=0, por exemplo v=(1,-1). Então
v^T H v =(1,-1)\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} =2>0,
o que indica mínimo.

Resposta

O único ponto extremo é (x,y)=(1,1), onde E atinge um mínimo.

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