O campo gravitacional que age em uma partícula de massa m em um ponto na posição do vetor r é
F=-G M m r|r|^3
onde G é a constante gravitacional e M a massa da terra. Calcule o trabalho realizado pela força gravitacional em uma partícula de massa m que se move radialmente de uma altitude de 8 km até 10 km em relação ao centro da terra.

Passo 1

A questão pede o trabalho da força gravitacional quando a partícula se desloca radialmente de r1 = Re + 8,km até r2 = Re + 10,km. O conteúdo é trabalho de uma força central (gravitação newtoniana), e vamos precisar usar a definição de trabalho como integral do produto escalar vec F cdot dvec r.

Passo 2

A força gravitacional é central e vale
vec F(vec r)= -GMmr^2,hat r
onde usamos r=|vec r| e hat r=vec r/r. Numa trajetória radial temos dvec r=dr,hat r, então
vec Fcdot dvec r = -GMmr^2,dr
.

Passo 3

O trabalho é a integral de vec Fcdot dvec r entre r1 e r2:
W=integralr1^r2 -GMmr^2,dr
.

Passo 4

Para calcular a integral, lembramos que
integral r^-2,dr = -r^-1
Portanto
W = -GMm [ -1r ]r1^r2 = GMm ( 1r2 - 1r1 )
.

Passo 5

Agora definimos os valores numéricos:
GM=3,986times10^14,m^3/s^2


E usamos .

Passo 6

Substituindo em
W = GMm ( 1r2 - 1r1 )
nos dá
W = (3,986times10^14),m(16,381,000 - 16,379,000)

Passo 7

Fazendo as contas:
16,381,000 - 16,379,000 approx -4,871times10^-11,m^-1
Logo
W approx 3,986times10^14 times (-4,871times10^-11)times m approx -1,94times10^4,m,J
O sinal negativo mostra que a força gravitacional realiza trabalho negativo (ela se opõe ao deslocamento para cima).

Resposta

W = GMm\bigl(1/(R_e+10,{\rm km}) - 1/(R_e+8,{\rm km})\bigr) \approx -1,94\times10^{4},m;\mathrm{J}

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