O campo gravitacional que age em uma partícula de massa
em um ponto na posição do vetor
é
onde
é a constante gravitacional e
a massa da terra. Calcule o trabalho realizado pela força gravitacional em uma partícula de massa
que se move radialmente de uma altitude de 8 km até 10 km em relação ao centro da terra.
Passo 1
A questão pede o trabalho da força gravitacional quando a partícula se desloca radialmente de
até
. O conteúdo é trabalho de uma força central (gravitação newtoniana), e vamos precisar usar a definição de trabalho como integral do produto escalar
.
Passo 2
A força gravitacional é central e vale
onde usamos
e
. Numa trajetória radial temos
, então
.
Passo 3
O trabalho é a integral de
entre
e
:
.
Passo 4
Para calcular a integral, lembramos que
Portanto
.
Passo 5
Agora definimos os valores numéricos:
E usamos .
E usamos
Passo 6
Substituindo em
nos dá
Passo 7
Fazendo as contas:
Logo
O sinal negativo mostra que a força gravitacional realiza trabalho negativo (ela se opõe ao deslocamento para cima).
Resposta
W = GMm\bigl(1/(R_e+10,{\rm km}) - 1/(R_e+8,{\rm km})\bigr) \approx -1,94\times10^{4},m;\mathrm{J}