Em um campo gravitacional uniforme, a força por unidade de massa é g= (0,-9.8,0). Uma partícula é lançada com velocidade inicial v0=(10,10,0).
  • (a) Calcule a trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos um campo gravitacional uniforme, onde a força por unidade de massa é g = (0, -9.8, 0). Isso significa que a aceleração devido à gravidade está apontando para baixo no eixo y com valor -9.8, m/s²². Além disso, uma partícula é lançada com uma velocidade inicial de v0 = (10, 10, 0), m/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a trajetória dessa partícula, ou seja, como sua posição muda ao longo do tempo.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado. Essas equações nos dizem como a posição e a velocidade mudam com o tempo quando há aceleração constante. A fórmula geral para a posição em função do tempo é:
r(t) = r0 + v0 t + 12 g t² ²
Onde:
  • r(t) é a posição no tempo t,
  • r0 é a posição inicial,
  • v0 é a velocidade inicial,
  • g é a aceleração (no caso, a gravidade).

Passo 3

Vamos assumir que a posição inicial r0 é a origem, ou seja, (0, 0, 0). Isso simplifica nossa equação para:
r(t) = v0 t + 12 g t² ²
Agora, vamos separar isso nas componentes x, y e z para facilitar:
  • Componente x:
    x(t) = v0x t + 12 gx t² ²
  • Componente y:
    y(t) = v0y t + 12 gy t² ²
  • Componente z:
    z(t) = v0z t + 12 gz t² ²
Sabemos que g = (0, -9.8, 0), então gx = 0, gy = -9.8, m/s²² e gz = 0. Além disso, a velocidade inicial é v0 = (10, 10, 0), então v0x = 10, m/s, v0y = 10, m/s e v0z = 0.

Passo 4

Vamos agora substituir esses valores nas equações:
  • Componente x:
    x(t) = 10 t + 12 times 0 times t² = 10 t ²
  • Componente y:
    y(t) = 10 t + 12 times (-9.8) times t² = 10 t - 4.9 t² ²²
  • Componente z:
    z(t) = 0 times t + 12 times 0 times t² = 0 ²

Resposta

A trajetória da partícula em função do tempo t é dada pelas seguintes equações paramétricas:
x(t) = 10,t y(t) = 10,t - 4.9,t² z(t) = 0 ²
Ou seja, a partícula se move ao longo do eixo x com uma velocidade constante de 10,m/s, enquanto no eixo y ela sobe inicialmente devido à velocidade de 10,m/s, mas depois começa a cair por causa da aceleração da gravidade.

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