Em um campo gravitacional uniforme, a força por unidade de massa é . Uma partícula é lançada com velocidade inicial .
(a) Calcule a trajetória da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos um campo gravitacional uniforme, onde a força por unidade de massa é . Isso significa que a aceleração devido à gravidade está apontando para baixo no eixo y com valor . Além disso, uma partícula é lançada com uma velocidade inicial de . Nosso objetivo aqui é encontrar a trajetória dessa partícula, ou seja, como sua posição muda ao longo do tempo.
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado. Essas equações nos dizem como a posição e a velocidade mudam com o tempo quando há aceleração constante. A fórmula geral para a posição em função do tempo é:
Onde:
é a posição no tempo ,
é a posição inicial,
é a velocidade inicial,
é a aceleração (no caso, a gravidade).
Passo 3
Vamos assumir que a posição inicial é a origem, ou seja, . Isso simplifica nossa equação para:
Agora, vamos separar isso nas componentes x, y e z para facilitar:
Componente x:
Componente y:
Componente z:
Sabemos que , então , e . Além disso, a velocidade inicial é , então , e .
Passo 4
Vamos agora substituir esses valores nas equações:
Componente x:
Componente y:
Componente z:
Resposta
A trajetória da partícula em função do tempo é dada pelas seguintes equações paramétricas:
Ou seja, a partícula se move ao longo do eixo x com uma velocidade constante de 10,m/s, enquanto no eixo y ela sobe inicialmente devido à velocidade de 10,m/s, mas depois começa a cair por causa da aceleração da gravidade.