Um campo magnético é descrito em coordenadas cilíndricas por
Bz=B0 rho^2 t cos (2 pi z / L) Bvarphi=0
Sabendo que não há variações em varphi tanto no campo elétrico quanto no campo magnético, encontre as compontentes Brho e Evarphi. Sugestão: Encontre Brho a partir da equação em divergência para o campo magnético, e o campo Evarphi a partir da Lei de Faraday.

Passo 1

Temos um campo magnético em coordenadas cilíndricas dado por
Bz = B0,rho^2,t,cosl(2pi z / Lr), Bvarphi = 0
O objetivo é encontrar Brho usando a equação de divergência e depois determinar Evarphi a partir da Lei de Faraday. Vamos precisar das fórmulas de divergência e rotacional em coordenadas cilíndricas, assumindo simetria em varphi (ou seja, partial/partialvarphi=0).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas com simetria em varphi, a condição nablacdotB=0 fica:
1rhopartialpartial rho(rho Brho)+1rhopartial Bvarphipartialvarphi+partial Bzpartial z=0
Como Bvarphi=0 e partial/partialvarphi=0, reduz-se a
1rhoddrho(rho Brho)+dBzdz=0

Passo 3

Calculamos primeiro
partial Bzpartial z=B0,rho^2,t(-sinl(2pi z/Lr)2piL)=-2pi B0 tL,rho^2,sinl(2pi z/Lr)
Substituindo na divergência:
1rhoddrho(rho Brho)=-partial Bzpartial z=2pi B0 tL,rho^2,sinl(2pi z/Lr)
Logo
ddrho(rho Brho)=2pi B0 tL,rho^3,sinl(2pi z/Lr)
Integrando em rho:
rho Brho=integral2pi B0 tL,rho^3,sinl(2pi z/Lr),drho=pi B0 t2L,rho^4,sinl(2pi z/Lr)+C(z,t)

Passo 4

Para não ter singularidade em rho=0, exigimos C(z,t)=0. Assim obtemos
Brho=pi B0 t2L,rho^3,sinl(2pi z/Lr)

Passo 5

Agora usamos a Lei de Faraday nablatimesE=-partialB/partial t. A componente z do rotacional em cilindricas é
(nablatimesE)z=1rhopartialpartialrho(rho Evarphi)
Logo
1rhoddrho(rho Evarphi)=-partial Bzpartial t
Como
partial Bzpartial t=B0,rho^2,cosl(2pi z/Lr),
temos
ddrho(rho Evarphi)=-B0,rho^3,cosl(2pi z/Lr)
Integrando em rho:
rho Evarphi=-B04,rho^4,cosl(2pi z/Lr)+D(z,t)

Passo 6

Para garantir regularidade em rho=0, tomamos D(z,t)=0. Assim
Evarphi=-B04,rho^3,cosl(2pi z/Lr)

Resposta

As componentes encontradas são
Brho=pi B0 t2L,rho^3,sinl(2pi z/Lr)
Evarphi=-B04,rho^3,cosl(2pi z/Lr).

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