Dado o teorema de Poynting na forma puntual:
onde
dê o significado físico desta equação (explique o que representa cada termo desta equação) e através do teorema de Gauss encontre a forma integral da equação, também dando a descrição física para a forma integral.
Para uma fonte de energia puntual concentrada na origem, emanando uma quantidade de potência constante ao longo do tempo, podemos escrever:
onde
é o valor médio do vetor de Poynting e
é o valor médio de
no tempo. Qual é a forma integral de solução de
? O que se espera para distâncias muito grandes em relação à origem, se a fonte
está localizada na origem e é pequena em relação à distância ao observador?
Para uma fonte de energia puntual concentrada na origem, emanando uma quantidade de potência constante ao longo do tempo, podemos escrever:
Passo 1
O enunciado pede para a gente usar o teorema puntual de Poynting
onde
A tarefa é: (1) explicar fisicamente cada termo; (2) aplicar Gauss para obter a forma integral e interpretar; (3) a partir de
, achar a solução integral de
e discutir a região
.
Passo 2
Para entender cada termo da forma puntual de Poynting, lembramos que ela é uma equação de conservação local de energia eletromagnética. Então:
-
mede a taxa líquida de energia saindo por unidade de volume (fluxo de energia). -
é a variação local da densidade de energia eletromagnética por unidade de tempo. -
é a potência fornecida pelo campo às cargas por unidade de volume (trabalho por tempo).
Passo 3
Para passar à forma integral, integramos ambos os lados em um volume
e usamos o teorema de Gauss:
Fica então:
Físico: a potência que sai da superfície
mais a taxa de acumulação de energia no interior equals a potência entregue às cargas.
Passo 4
Partindo da equação média em regime estacionário de irradiação
sabendo que a solução geral de uma equação
num domínio livre é dada pelo potencial vetorial do tipo Coulomb (ver semelhança com campo elétrico de densidade de carga), obtemos:
Passo 5
Para o caso de uma fonte pontual na origem que emite potência constante
, temos
e a integral vira
Ou seja, longe da fonte (
) espera-se um fluxo puramente radial que decai como
.
Resposta
A forma integral geral é
Para fonte pontual de potência
na origem, isso dá
isto é, um fluxo radial que decai como
para
.