Dado o teorema de Poynting na forma puntual:
nabla cdot S+partial ue mpartial t=-J cdot E
onde
S=E times H ue m=12(varepsilon E^2+1mu B^2)
dê o significado físico desta equação (explique o que representa cada termo desta equação) e através do teorema de Gauss encontre a forma integral da equação, também dando a descrição física para a forma integral.
Para uma fonte de energia puntual concentrada na origem, emanando uma quantidade de potência constante ao longo do tempo, podemos escrever:
nabla cdot S med =f(r)
onde S med é o valor médio do vetor de Poynting e -partial ue mpartial t-J cdot E é o valor médio de S med no tempo. Qual é a forma integral de solução de f(r) ? O que se espera para distâncias muito grandes em relação à origem, se a fonte está localizada na origem e é pequena em relação à distância ao observador?

Passo 1

O enunciado pede para a gente usar o teorema puntual de Poynting
abla cdot S + partial uempartial t = -J cdot E
onde
S = E times H, uem = 12l(varepsilon E^2 + 1mu B^2r)
A tarefa é: (1) explicar fisicamente cada termo; (2) aplicar Gauss para obter a forma integral e interpretar; (3) a partir de nablacdotSmed=f( r), achar a solução integral de Smed e discutir a região rtoinfty.

Passo 2

Para entender cada termo da forma puntual de Poynting, lembramos que ela é uma equação de conservação local de energia eletromagnética. Então:
  • nablacdotS mede a taxa líquida de energia saindo por unidade de volume (fluxo de energia).
  • partial uem/partial t é a variação local da densidade de energia eletromagnética por unidade de tempo.
  • -JcdotE é a potência fornecida pelo campo às cargas por unidade de volume (trabalho por tempo).

Passo 3

Para passar à forma integral, integramos ambos os lados em um volume V e usamos o teorema de Gauss:
integralV nablacdotS,dV = ointpartial VScdot dA
Fica então:
ointpartial VScdot dA + ddtintegralV uem,dV = -integralV JcdotE,dV
Físico: a potência que sai da superfície partial V mais a taxa de acumulação de energia no interior equals a potência entregue às cargas.

Passo 4

Partindo da equação média em regime estacionário de irradiação
nablacdotSmed( r) = f( r),
sabendo que a solução geral de uma equação nablacdotF=f num domínio livre é dada pelo potencial vetorial do tipo Coulomb (ver semelhança com campo elétrico de densidade de carga), obtemos:
Smed( r)=14piintegral R^3f( r') r- r'| r- r'|^3,d^3r'

Passo 5

Para o caso de uma fonte pontual na origem que emite potência constante P, temos
f( r)=P,de,
e a integral vira
Smed( r)=P4pi rr^3=P4pi r^2, r
Ou seja, longe da fonte ( rgg0) espera-se um fluxo puramente radial que decai como 1/r^2.

Resposta

A forma integral geral é
Smed( r)=14piintegral f( r'), r- r'| r- r'|^3,d^3r'
Para fonte pontual de potência P na origem, isso dá
Smed( r)=P4pi r^2, r,
isto é, um fluxo radial que decai como 1/r^2 para rtoinfty.

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