O vetor densidade de fluxo magnético associado a um fio infinitamente longo transportando uma corrente I é dado por:
B=mu0 I2 pi rho avarphi
Mostre por um cálculo direto que nabla cdot B=0. Mostre ainda que este campo satisfaz a Lei de Ampère, utilizando a forma integral.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o campo magnético de um fio infinito com corrente I, dado em coordenadas cilíndricas por B=dfracmu0I2pirho,avarphi. O que vamos precisar: a definição de divergência em coordenadas cilíndricas e a forma integral da lei de Ampère.

Passo 2

Para mostrar que nablacdotB=0, lembramos que em coordenadas cilíndricas a divergência é
nablacdotB=1rhopartialpartialrho(rho Brho)+1rhopartial Bvarphipartialvarphi+partial Bzpartial z
No nosso caso Brho=0, Bz=0 e Bvarphi=mu0I/(2pirho) não depende de varphi nem de z. Logo cada termo é zero e
nablacdotB=0

Passo 3

Para verificar a lei de Ampère na forma integral, escolhemos uma curva fechada circular de raio R centrada no fio. A lei diz
ointCBcdot dell=mu0Irm int
Como B=Bvarphi,avarphi e o elemento de arco é dell=R,dvarphi,avarphi, temos
Bcdot dell=mu0I2pi R,R,dvarphi=mu0I2pi,dvarphi
e integrando de 0 a 2pi obtemos
ointCBcdot dell=mu0I2piintegral0^2pidvarphi=mu0I

Passo 4

Concluímos que o campo satisfaz nablacdotB=0 e também a forma integral da lei de Ampère com corrente interna I.

Resposta

nablacdotB=0 e ointCBcdot dell=mu0I.

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