Uma esfera de cargas no espaço livre é caracterizada por uma densidade de cargas volumétrica dada por:
rho=cc rho0(1-r^2 / a^2) & ra
sendo a o raio da esfera e rho0 uma constante. Encontre o vetor campo elétrico E para qualquer valor de r e calcule nabla times E.

Passo 1

Nesse exercício, temos uma esfera de raio a com densidade volumétrica rho(r)=rho0l(1-r^2/a^2r) para r e zero fora. O conteúdo é eletrostática: vamos usar a Lei de Gauss para achar E(r) e depois a lei de Faraday (no regime estático) para calcular nablatimesE.

Passo 2

Pela simetria esférica, E(r)=E(r),r e a Lei de Gauss diz que
ointEcdot dA=Qrm int(r)varepsilon0Longrightarrow E(r),4pi r^2=Qrm int(r)varepsilon0,

Passo 3

onde a carga interna até um raio genérico r é
Qrm int(r)=integral0^r!rho(r'),4pi r'^2,dr'=4pirho0integral0^rl(1-r'^2a^2r)r'^2,dr'

Passo 4

Para r calculamos
Qrm int(r)=4pirho0l(r^33-r^55a^2r)
e então
E(r)=14pivarepsilon0Qrm int(r)r^2=rho0varepsilon0l(r3-r^35a^2r),(r

Passo 5

Para r>a, usamos a carga total Qrm tot=Qrm int(a)=4pirho0l(a^3/3-a^5/(5a^2)r)=tfrac8pirho0a^315. Daí
E(r)=14pivarepsilon0Qrm totr^2=2rho0a^315,varepsilon01r^2,(r>a)

Passo 6

O campo resultante é puramente radial e depende apenas de r. Em eletrostática, a lei de Faraday diz que
nablatimesE=0

Passo 7

Como E=Er(r),hat r, seu rotacional em coordenadas esféricas é zero identicamente, confirmando nablatimesE=0.

Resposta

Para r<a: E(r)=dfracrho0varepsilon0l(tfrac r3-tfracr^35a^2r),hat r. Para r>a: E(r)=dfrac2rho0a^315,varepsilon0dfrac1r^2,hat r. E em todo o espaço nablatimesE=0

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