Uma esfera de cargas no espaço livre é caracterizada por uma densidade de cargas volumétrica dada por:
sendo
o raio da esfera e
uma constante. Encontre o vetor campo elétrico
para qualquer valor de
e calcule
.
Passo 1
Nesse exercício, temos uma esfera de raio
com densidade volumétrica
para
e zero fora. O conteúdo é eletrostática: vamos usar a Lei de Gauss para achar
e depois a lei de Faraday (no regime estático) para calcular
.
Passo 2
Pela simetria esférica,
e a Lei de Gauss diz que
Passo 3
onde a carga interna até um raio genérico
é
Passo 4
Para
calculamos
e então
Passo 5
Para
, usamos a carga total
. Daí
Passo 6
O campo resultante é puramente radial e depende apenas de
. Em eletrostática, a lei de Faraday diz que
Passo 7
Como
, seu rotacional em coordenadas esféricas é zero identicamente, confirmando
.
Resposta
Para r<a:
. Para r>a:
. E em todo o espaço