Um campo magnético uniforme B é perpendicular ao plano de uma espira circular com 10 cm de diâmetro, formada por um fio com 2,5 \mathrm{~mm} de diâmetro e uma resistividade de 1,69 \times 10^{-8} \Omega \cdot \mathrm{~m}. Qual deve ser a taxa de variação de B para que uma corrente de 10 A seja induzida na espira?

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação de um campo magnético B perpendicular a uma espira circular de diâmetro 10\\ \mathrm{cm}, para que se induza uma corrente de 10\\ \mathrm{A} na espira. O conteúdo envolve cálculo de resistência de um fio cilíndrico (usando resistividade) e a Lei de Faraday da indução eletromagnética.

Passo 2

Primeiro vamos obter as dimensões e áreas necessárias:
A espira tem raio
R = \frac{10\\ \mathrm{cm}}{2} = 0,05\\ \mathrm{m}.
Sua área é
A_{\text{espira}} = \pi R^{2} = \pi (0,05)^{2} = 7{,}85\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}.
O fio tem diâmetro
d = 2{,}5\\ \mathrm{mm} = 2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
logo sua área de seção reta é
A_{\text{fio}} = \pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^{2} = \pi\,(1{,}25\times10^{-3})^{2} =4{,}91\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}.
O comprimento do fio (circunferência da espira) é
L = 2\pi R = 2\pi (0,05) =0{,}314\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora calculamos a resistência da espira usando
R_{\text{espira}} = \rho\,\frac{L}{A_{\text{fio}}},
onde \rho=1{,}69\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}. Então
R_{\text{espira}} =1{,}69\times10^{-8}\,\frac{0{,}314}{4{,}91\times10^{-6}} \approx1{,}08\times10^{-3}\\ \Omega.

Passo 4

Pela Lei de Faraday, a fem induzida na espira vale
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} =-\frac{d}{dt}\bigl(B\,A_{\text{espira}}\bigr) =-A_{\text{espira}}\;\frac{dB}{dt}.
Em módulo, \mathcal{E}=A_{\text{espira}}\,(dB/dt). A corrente induzida é
I=\frac{\mathcal{E}}{R_{\text{espira}}},
logo isolando dB/dt:
\frac{dB}{dt} =\frac{I\,R_{\text{espira}}}{A_{\text{espira}}}.

Passo 5

Substituindo I=10\\ \mathrm{A}, R_{\text{espira}}=1{,}08\times10^{-3}\\ \Omega e A_{\text{espira}}=7{,}85\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}:
\frac{dB}{dt} =\frac{10\cdot1{,}08\times10^{-3}}{7{,}85\times10^{-3}} \approx1{,}38\\ \mathrm{T/s}.

Resposta

A taxa de variação de B deve ser aproximadamente 1{,}38\\ \mathrm{T/s}.

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