Uma pequena espira com 6,8 \mathrm{~mm} 2 de área é colocada no interior de um solenoide longo, com 854 espiras / \mathrm{cm}, percorrido por uma corrente senoidal i com 1,28 A de amplitude e uma frequência angular de 212 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Os eixos centrais da espira e do solenoide coincidem. Qual é a amplitude da força eletromotriz induzida na espira?

Passo 1

O enunciado dá uma espira simples (uma volta) de área A=6{,}8\\ \mathrm{mm}^2 colocada no interior de um solenoide longo com densidade de espiras 854\\ \text{espiras/cm}. A corrente no solenoide é senoidal de amplitude I_0=1{,}28\\ \mathrm{A} e frequência angular \omega=212\\ \mathrm{rad/s}. Queremos a amplitude da fem induzida na espira. O conteúdo é indução eletromagnética: usamos B=\mu_0 n\,i(t), fluxo \Phi=BA e \varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}.

Passo 2

Convertendo unidades e escrevendo B(t). A densidade de espiras por metro é
n = 854\\ \frac{\text{espiras}}{\text{cm}} = 854\times 100\\ \frac{\text{espiras}}{\text{m}} = 8{,}54\times 10^4\\ \text{m}^{-1}.
Como i(t)=I_0\sin(\omega t) e \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, temos
B(t)=\mu_0\,n\,I_0\sin(\omega t).

Passo 3

O fluxo magnético pela espira de área A (em \mathrm{m}^2) é
\Phi(t) = B(t)\,A = \mu_0\,n\,I_0\,A\;\sin(\omega t),
onde A=6{,}8\\ \mathrm{mm}^2=6{,}8\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

A fem induzida é
\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\mu_0\,n\,I_0\,A\;\omega\cos(\omega t).
Logo a amplitude da fem é
\varepsilon_0 = \mu_0\,n\,I_0\,A\,\omega.

Passo 5

Agora calculamos numericamente:
\mu_0\,n = 4\pi\times 10^{-7}\times 8{,}54\times 10^4 \approx 1{,}073\times 10^{-1}\\ \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{A}},
\mu_0\,n\,A \approx 1{,}073\times 10^{-1}\times 6{,}8\times 10^{-6} = 7{,}30\times 10^{-7},
\mu_0\,n\,A\,I_0 \approx 7{,}30\times 10^{-7}\times 1{,}28 = 9{,}34\times 10^{-7},
\varepsilon_0 = 9{,}34\times 10^{-7}\times 212 \approx 1{,}98\times 10^{-4}\\ \mathrm{V}.

Resposta

A amplitude da fem induzida na espira é aproximadamente 2,0\times 10^{-4}\\ \mathrm{V}.

Exercícios relacionados