Considere três classes de deformações, descritas pelos seguintes vetores descolamento:
\begin{array}{ll} (I) & \vec{u}=\left(\alpha X_{1}, \beta X_{2}, \mu X_{3}\right), \\\ (I I) & \vec{u}=\left(\alpha X_{2}, \beta X_{1}, 0\right), \\\ (I I I) & \vec{u}=\left(\alpha X_{1}, \alpha X_{2}, \alpha X_{3}\right), \end{array}
sendo \alpha, \beta e \mu parâmetros pequenos. Se as transformações são aplicadas a um cubo de volume unitário com vértice na origem, determine, para cada caso:
a) O tensor de deformação elástica \varepsilon.
b) A variação de comprimento \delta \ell das arestas do cubo.
c) O volume final do cubo.
d) A variação angular das faces do cubo inicialmente paralelas aos planos do sistema de eixos.

Passo 1

O enunciado dá três campos de deslocamento \vec u(X) aplicados a um cubo de aresta unitária em deformação pequena e pede, para cada caso, (a) o tensor de deformação infinitesimal \varepsilon, (b) a variação de comprimento das arestas, (c) o volume final e (d) as variações angulares entre faces inicialmente ortogonais. Vamos usar a teoria de pequenas deformações, em que
\varepsilon \;=\;\tfrac12\bigl(\nabla\vec u+(\nabla\vec u)^{T}\bigr),
a variação de comprimento de uma aresta na direção i é \delta\ell_i=\varepsilon_{ii}, o volume final é V=1+\mathrm{tr}(\varepsilon) e a mudança de ângulo entre eixos i e j é \delta\theta_{ij}=2\,\varepsilon_{ij}.

Passo 2

Calcular \nabla\vec u e \varepsilon em cada caso:
Caso (I): \vec u=(\alpha X_1,\;\beta X_2,\;\mu X_3)
\nabla\vec u = \begin{pmatrix} \alpha&0&0\\\\ 0&\beta&0\\\\ 0&0&\mu \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon^{(I)} = \begin{pmatrix} \alpha&0&0\\\\ 0&\beta&0\\\\ 0&0&\mu \end{pmatrix}.
Caso (II): \vec u=(\alpha X_2,\;\beta X_1,\;0)
\nabla\vec u = \begin{pmatrix} 0&\alpha&0\\\ \beta&0&0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon^{(II)} = \frac12 \begin{pmatrix} 0&\alpha+\beta&0\\\ \alpha+\beta&0&0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.
Caso (III): \vec u=(\alpha X_1,\;\alpha X_2,\;\alpha X_3)
\nabla\vec u = \begin{pmatrix} \alpha&0&0\\\\ 0&\alpha&0\\\\ 0&0&\alpha \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon^{(III)} = \begin{pmatrix} \alpha&0&0\\\\ 0&\alpha&0\\\\ 0&0&\alpha \end{pmatrix}.

Passo 3

Variação de comprimento das arestas:
\delta\ell_i=\varepsilon_{ii},\quad i=1,2,3.
Caso (I): \delta\ell=(\alpha,\;\beta,\;\mu).
Caso (II): \delta\ell=(0,\,0,\,0).
Caso (III): \delta\ell=(\alpha,\;\alpha,\;\alpha).

Passo 4

Volume final V=1+\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}:
Caso (I): V=1+(\alpha+\beta+\mu).
Caso (II): V=1+0=1.
Caso (III): V=1+3\alpha.

Passo 5

Variação angular entre eixos i e j: \delta\theta_{ij}=2\,\varepsilon_{ij}.
Caso (I): todos \varepsilon_{ij}=0 para i\neq j, logo \delta\theta_{12}=\delta\theta_{13}=\delta\theta_{23}=0.
Caso (II): único não nulo \varepsilon_{12}=\varepsilon_{21}=(\alpha+\beta)/2, logo
\delta\theta_{12}=\alpha+\beta, \quad \delta\theta_{13}=\delta\theta_{23}=0.
Caso (III): off-diagonais zero, logo todas as \delta\theta_{ij}=0.

Resposta

(I) a) \displaystyle\varepsilon^{(I)}=\begin{pmatrix}\alpha&0&0\\\ 0&\beta&0\\\ 0&0&\mu\end{pmatrix}.
 b) \delta\ell=(\alpha,\;\beta,\;\mu).
 c) V=1+\alpha+\beta+\mu.
 d) \delta\theta_{12}=\delta\theta_{13}=\delta\theta_{23}=0. (II) a) \displaystyle\varepsilon^{(II)}=\frac12\begin{pmatrix}0&\alpha+\beta&0\\alpha+\beta&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}.
 b) \delta\ell=(0,0,0).
 c) V=1.
 d) \delta\theta_{12}=\alpha+\beta,\;\delta\theta_{13}=\delta\theta_{23}=0. (III) a) \displaystyle\varepsilon^{(III)}=\begin{pmatrix}\alpha&0&0\\\ 0&\alpha&0\\\ 0&0&\alpha\end{pmatrix}.
 b) \delta\ell=(\alpha,\alpha,\alpha).
 c) V=1+3\alpha.
 d) \delta\theta_{12}=\delta\theta_{13}=\delta\theta_{23}=0.

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