Um campo de velocidade bidimensional é dado por:
\vec{V}=(1+2,5 x+y) \vec{i}+(-0,5-1,5 x-2,5 y) \vec{j}
a) O escoamento é incompressível? Mostre.
b) Determine se há muitos pontos de estagnação neste campo de escoamento e, nesse caso, onde?

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidade bidimensional
\vec V = \bigl(1 + 2,5\,x + y\bigr)\,\vec i + \bigl(-0,5 - 1,5\,x - 2,5\,y\bigr)\,\vec j
e pede:
a) verificar se o escoamento é incompressível (isto é, se \nabla\cdot\vec V=0);
b) determinar os pontos de estagnação (onde \vec V=\vec0), se existirem.

Passo 2

Para testar incompressibilidade, calculamos a divergência
\nabla\!\cdot\!\vec V = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(1 + 2,5\,x + y\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-0,5 - 1,5\,x - 2,5\,y\bigr).
Derivando, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(1 + 2,5\,x + y) = 2,5, \quad \frac{\partial}{\partial y}(-0,5 - 1,5\,x - 2,5\,y) = -2,5,
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\nabla\!\cdot\!\vec V = 2,5 + (-2,5) = 0.
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Passo 3

Para achar os pontos de estagnação, resolvemos o sistema
\begin{cases} 1 + 2,5\,x + y = 0,\\\\ -0,5 - 1,5\,x - 2,5\,y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem
y = -1 - 2,5\,x.
Substituindo na segunda:
-0,5 - 1,5\,x - 2,5\,(-1 - 2,5\,x) = 0 \;\Longrightarrow\; -0,5 - 1,5\,x + 2,5 + 6,25\,x = 0 \;\Longrightarrow\; 2 + 4,75\,x = 0 \;\Longrightarrow\; x = -\frac{2}{4{,}75} = -\frac{8}{19}.
Então
y = -1 - 2,5\bigl(-\tfrac{8}{19}\bigr) = -1 + \tfrac{20}{19} = \tfrac{1}{19}.

Resposta

a) Sim, o escoamento é incompressível porque \nabla\cdot\vec V=0.
b) Existe um único ponto de estagnação em
\bigl(x,y\bigr) = \Bigl(-\tfrac{8}{19},\,\tfrac{1}{19}\Bigr).

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