1^{\circ} ) ( \mathbf{2 , 5} pontos) Os transplantes de coração entre seres humanos estão se tornando mais comuns. Muitas vezes, o doador do coração está a centenas ou mesmo milhares de quilômetros de distância do receptor, por isso é muito importante preservar rapidamente o coração para evitar danos ou morte do tecido durante sua viagem pelo país. Isso é feito submergindo o coração em uma solução salina e embalando-o em gelo dentro de uma caixa térmica comercial.O coração pode ser aproximado por um cilindro sólido e finito com propriedades térmicas constantes e iguais em todas as direções. Durante o tempo em que o coração está embalado em gelo, pode-se supor que a atividade do tecido diminuiu o suficiente para que a produção de calor metabólico seja insignificante. Suponha também que não há condução de calor na direção axial e que a solução salina é agitada para manter a temperatura da superfície do coração no valor constante da temperatura da solução salina. A difusividade térmica do tecido cardíaco é de 1,4 \times 10^{-7} \mathrm{m} / \mathrm{s}, a temperatura inicial é de 37^{\circ} \mathrm{C}, a temperatura da solução salina é de 0^{\circ} \mathrm{C} e o raio e a altura do cilindro que aproxima o coração são 3,75 \mathrm{~cm} e 9 cm , respectivamente. 1) Encontre a temperatura no centro do coração após 3 horas, assumindo como um cilindro -infinito. tivits

Passo 1

O enunciado descreve resfriamento de um cilindro sólido infinito (aproximado) de raio R, com temperatura inicial uniforme T_i=37\,^\circ\mathrm{C} e borda mantida em T_s=0\,^\circ\mathrm{C}. O material tem difusividade térmica \alpha=1{,}4\times10^{-7}\,\mathrm m^2/\mathrm s. Precisamos usar a solução por separação de variáveis em coordenadas cilíndricas (sem variação axial) e condição de contorno de temperatura fixa na superfície.

Passo 2

A solução geral para a razão adimensional \bigl(T(r,t)-T_s\bigr)/(T_i-T_s) é dada pela série de Bessel
\frac{T(r,t)-T_s}{T_i-T_s} =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{J_0(\lambda_n\,r)}{\lambda_n\,R\,J_1(\lambda_n\,R)} \exp\bigl(-\alpha\,\lambda_n^2\,t\bigr),
onde os autovalores \lambda_n satisfazem
J_0\bigl(\lambda_n\,R\bigr)=0.

Passo 3

No centro do cilindro r=0, temos J_0(0)=1. Além disso, escrevemos \lambda_n = j_{0,n}/R, em que j_{0,n} é a n-ésima raiz de J_0(x)=0. Logo
\frac{T(0,t)-T_s}{T_i-T_s} =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{j_{0,n}\,J_1(j_{0,n})} \exp\!\biggl(-\alpha\,\frac{j_{0,n}^2}{R^2}\,t\biggr).

Passo 4

Dados numéricos:
R=3{,}75\:\mathrm{cm}=0{,}0375\:\mathrm m, \quad t=3\:\mathrm h=3\times3600=10800\:\mathrm s.

Passo 5

A série converge rápido; usamos só o primeiro termo n=1:
j_{0,1}\approx2{,}4048,\quad J_1\bigl(j_{0,1}\bigr)\approx0{,}5191.
O coeficiente é
C_1 =\frac{2}{j_{0,1}\,J_1(j_{0,1})} \approx\frac{2}{2{,}4048\times0{,}5191} \approx1{,}601.

Passo 6

Calculamos o argumento do exponencial:
\alpha\,\frac{j_{0,1}^2}{R^2}\,t =1{,}4\times10^{-7}\;\frac{(2{,}4048)^2}{(0{,}0375)^2}\;10800 \approx6{,}218.
Então
\frac{T(0,t)-T_s}{T_i-T_s} \approx1{,}601\;e^{-6{,}218} \approx1{,}601\times0{,}00199 \approx0{,}00319.
Logo a temperatura no centro é
T(0,10800) =T_s+(T_i-T_s)\times0{,}00319 =0+(37-0)\times0{,}00319 \approx0{,}118\;^\circ\mathrm C.

Resposta

Aos 3 h, a temperatura no centro do “coração” é aproximadamente 0{,}12\,^\circ\mathrm C.

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