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pontos) Os transplantes de coração entre seres humanos estão se tornando mais comuns. Muitas vezes, o doador do coração está a centenas ou mesmo milhares de quilômetros de distância do receptor, por isso é muito importante preservar rapidamente o coração para evitar danos ou morte do tecido durante sua viagem pelo país. Isso é feito submergindo o coração em uma solução salina e embalando-o em gelo dentro de uma caixa térmica comercial.O coração pode ser aproximado por um cilindro sólido e finito com propriedades térmicas constantes e iguais em todas as direções. Durante o tempo em que o coração está embalado em gelo, pode-se supor que a atividade do tecido diminuiu o suficiente para que a produção de calor metabólico seja insignificante. Suponha também que não há condução de calor na direção axial e que a solução salina é agitada para manter a temperatura da superfície do coração no valor constante da temperatura da solução salina. A difusividade térmica do tecido cardíaco é de
, a temperatura inicial é de
, a temperatura da solução salina é de
e o raio e a altura do cilindro que aproxima o coração são
e 9 cm , respectivamente. 1) Encontre a temperatura no centro do coração após 3 horas, assumindo como um cilindro -infinito. tivits
Passo 1
O enunciado descreve resfriamento de um cilindro sólido infinito (aproximado) de raio
, com temperatura inicial uniforme
e borda mantida em
. O material tem difusividade térmica
. Precisamos usar a solução por separação de variáveis em coordenadas cilíndricas (sem variação axial) e condição de contorno de temperatura fixa na superfície.
Passo 2
A solução geral para a razão adimensional
é dada pela série de Bessel
onde os autovalores
satisfazem
Passo 3
No centro do cilindro
, temos
. Além disso, escrevemos
, em que
é a
-ésima raiz de
. Logo
Passo 4
Dados numéricos:
Passo 5
A série converge rápido; usamos só o primeiro termo
:
O coeficiente é
Passo 6
Calculamos o argumento do exponencial:
Então
Logo a temperatura no centro é
Resposta
Aos 3 h, a temperatura no centro do “coração” é aproximadamente
.