Determinar a profundidade de água em um canal trapezoidal de talude 1:2 e revestimento de concreto (coeficiente de rugosidade de Manning = 0,018), sabendo que a largura de fundo é de 1,5 m , a declividade do canal é de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{km} e a vazão escoada de 5000 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Esse canal é de máxima eficiência?

Passo 1

O enunciado pede a cota de escoamento ( y) em um canal trapezoidal com talude 1:2 (isto é, para cada 1 de altura, 2 de base lateral), largura de fundo b=1{,}5\\ \mathrm m, declividade S=2\\ \mathrm{m/km}=0{,}002, coeficiente de Manning n=0{,}018 e vazão Q=5000\\ \mathrm L/s=5\\ \mathrm m^3/s. Além disso, avaliar se o canal opera em condição de máxima eficiência hidráulica. Para resolver, vamos: (a) expressar a área de seção molhada A e o perímetro molhado P em função de y; (b) aplicar a equação de Manning; (c) resolver numericamente para y; (d) checar a condição de máxima eficiência.

Passo 2

Geometria da seção trapezoidal com talude m=2 (horizontal/vertical):
A = \bigl(b + m\,y + m\,y\bigr)\frac{y}{2} = (b + 2\,m\,y)\,\frac{y}{2},
mas como há dois taludes iguais, simplifica-se para
A = (b + m\,y)\,y = \bigl(1{,}5 + 2\,y\bigr)\,y.
O perímetro molhado é
P = b + 2\,\sqrt{1 + m^2}\;y = 1{,}5 + 2\,\sqrt{1+2^2}\;y = 1{,}5 + 2\,\sqrt{5}\;y.
O raio hidráulico é
R = \frac{A}{P}.

Passo 3

A equação de Manning, em unidades SI, é
Q = \frac{1}{n}\;A\;R^{2/3}\;\sqrt{S}.
Rearranjando para facilitar a solução numérica, escrevemos
A\,R^{2/3} \;=\; \frac{Q\,n}{\sqrt{S}}.
Substituindo Q=5, n=0{,}018, \sqrt{S}=\sqrt{0{,}002}\approx0{,}04472, obtemos o valor alvo
A\,R^{2/3} \;=\; \frac{5\cdot0{,}018}{0{,}04472}\approx2{,}013.

Passo 4

Resolvendo numericamente f(y)=A(y)\,\bigl[A(y)/P(y)\bigr]^{2/3}-2{,}013=0 por bisseção/interpolação, chega-se a
y \approx 0{,}91\\ \mathrm m.

Passo 5

Um canal trapezoidal atinge máxima eficiência hidráulica quando o perímetro molhado é mínimo para dada área, o que ocorre se a largura de fundo satisfizer
b = 2\,m\,y.
Aqui m=2, logo b_{\rm ótimo}=4\,yó. Para nosso b=1{,}5, a cota ótima seria
y_{\rm ótimo} = \frac{b}{4} = 0{,}375\\ \mathrm m,ó
o que difere de 0{,}91\\ \mathrm m. Portanto, o canal não está em condição de máxima eficiência.

Resposta

A profundidade de água é aproximadamente 0{,}91\\ \mathrm m.
Não, o canal não opera em condição de máxima eficiência hidráulica.

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