Um campo de velocidade bidimensional, incompressível e permanente é dado pelas componentes :
V=\mathrm{u} i-\mathrm{v} j=(0,5+0,8 x) i-(1,5+0,8 y) j
Sabendo que um ponto de estagnação é definido como um ponto no campo de escoamento no qual a sua velocidade é zero.
a) Determine se há pontos de estagnação neste escoamento, e caso haja, informe sua localização;
b) Obtenha a equação para as linhas de corrente no plano xy ;
c) Ainda para escoamento calcule i) \nabla V ii) \nabla \cdot V iii) \nabla x V

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de velocidade bidimensional, incompressível e permanente, com as componentes (note que o segundo componente aparece com sinal negativo no vetor):
\mathbf{V}=u\,\mathbf{i}-v\,\mathbf{j}=(0,5+0,8x)\,\mathbf{i}-(1,5+0,8y)\,\mathbf{j}.
Dados extraídos do enunciado:
  • u(x,y)=0,5+0,8x.
  • v(x,y)=1,5+0,8y (o componente vertical do vetor velocidade é -v(x,y), ou seja w(x,y)=-\bigl(1,5+0,8y\bigr)).
O enunciado pede:
a) Determinar se existem pontos de estagnação (pontos onde a velocidade é zero) e, se houver, localizar esses pontos.
b) Obter a equação das linhas de corrente no plano xy.
c) Calcular: i) \nabla \mathbf{V} (o tensor gradiente do campo de velocidade), ii) \nabla\cdot\mathbf{V} (a divergência), iii) \nabla\times\mathbf{V} (o rotacional).

Passo 2

Parte (a) — entender o que é um ponto de estagnação:
Um ponto de estagnação é um ponto (x,y) onde a velocidade é zero, ou seja ambas as componentes do vetor velocidade são zero simultaneamente. Aqui a componente horizontal é u(x,y) e a componente vertical é w(x,y)=-v(x,y). Logo as equações a resolver são:
u(x,y)=0,\qquad w(x,y)=0.

Passo 3

Resolver as equações para encontrar possíveis pontos de estagnação. Primeiro igualar a componente horizontal a zero:
0,5+0,8x=0.
Isolando x:
x=-\dfrac{0,5}{0,8}.
Simplificando a fração:
x=-\dfrac{5}{8}=-0,625.

Passo 4

Agora igualar a componente vertical a zero. Lembrando que a componente vertical do vetor é w(x,y)=-\bigl(1,5+0,8y\bigr). Para que ela seja zero é necessário:
1,5+0,8y=0.
Isolando y:
y=-\dfrac{1,5}{0,8}=-\dfrac{15}{8}=-1,875.

Passo 5

Conclusão da parte (a): os dois requisitos são satisfeitos simultaneamente por
(x,y)=\Bigl(-\dfrac{5}{8},-\dfrac{15}{8}\Bigr)=(-0,625,\,-1,875).
Portanto existe exatamente um ponto de estagnação e sua localização foi determinada.

Passo 6

Parte (b) — conceito e equação diferencial das linhas de corrente:
Em escoamento permanente, as linhas de corrente coincidem com as linhas traçadas por vetores tangentes à velocidade em cada ponto. Matemática: se a velocidade tem componentes (u(x,y),\,w(x,y)) então a equação das linhas de corrente satisfaz
\frac{dy}{dx}=\frac{w(x,y)}{u(x,y)}.
Aqui u(x,y)=0,5+0,8x e w(x,y)=-\bigl(1,5+0,8y\bigr). Substituindo:
\frac{dy}{dx}=\frac{-(1,5+0,8y)}{0,5+0,8x}.

Passo 7

Resolver a equação diferencial obtida. Observa-se que a equação é separável (o numerador depende só de y e o denominador só de x). Escrevendo separando variáveis:
\frac{dy}{1,5+0,8y}=-\frac{dx}{0,5+0,8x}.
Agora integra-se ambos os lados.

Passo 8

Integração: usar a integral padrão \displaystyle\int\frac{dz}{a+bz}=\frac{1}{b}\ln|a+bz|+C. Aplicando aos dois lados:
\frac{1}{0,8}\ln\bigl|1,5+0,8y\bigr|=-\frac{1}{0,8}\ln\bigl|0,5+0,8x\bigr|+C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 0,8 obtemos:
\ln\bigl|1,5+0,8y\bigr|=-\ln\bigl|0,5+0,8x\bigr|+C',
com C'=0,8C.

Passo 9

Combinar logaritmos e exponenciar para obter a forma explícita das linhas de corrente. Somando \ln|0,5+0,8x| a ambos os lados:
\ln\Bigl(\bigl|1,5+0,8y\bigr|\cdot\bigl|0,5+0,8x\bigr|\Bigr)=C'.
Exponenciando:
\bigl(1,5+0,8y\bigr)\bigl(0,5+0,8x\bigr)=\text{constante}.
Assim as linhas de corrente são dadas pelas curvas de nível do produto (1,5+0,8y)(0,5+0,8x). Se for necessário isolar y,
y(x)=\frac{1}{0,8}\left(\frac{C}{0,5+0,8x}-1,5\right),
onde C é a constante da linha de corrente determinada pela condição inicial.

Passo 10

Parte (c) — preparar para calcular derivadas: escrevemos explicitamente a componente vertical do vetor velocidade:
w(x,y)=-\bigl(1,5+0,8y\bigr)=-1,5-0,8y.
u(x,y)=0,5+0,8x.
Calcular as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=0,8,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0,
\frac{\partial w}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=-0,8.

Passo 11

Parte (c)(i) — o tensor gradiente \nabla\mathbf{V}:
O gradiente de um campo vetorial em 2D é a matriz cujas entradas são \partial V_i/\partial x_j. Ordenando as componentes como (u,w) (horizontal, vertical), obtemos a matriz
\nabla\mathbf{V}=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial w}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial w}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8 & 0\\[6pt] 0 & -0,8 \end{pmatrix}.]

Passo 12

Parte (c)(ii) — a divergência \nabla\cdot\mathbf{V}:
A divergência em 2D é a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes:
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}=0,8+(-0,8)=0.
Isso confirma que o escoamento é incompressível (como dito no enunciado).

Passo 13

Parte (c)(iii) — o rotacional \nabla\times\mathbf{V}:
Em 2D o rotacional resulta em um vetor na direção k com componente \displaystyle\frac{\partial w}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}. Calculando:
\nabla\times\mathbf{V}=\Bigl(0-\;0\Bigr)\mathbf{k}=0\;\mathbf{k}.
Portanto o campo é também irrotacional (rotacional nulo).

Resposta

a) \displaystyle (x,y)=\Bigl(-\dfrac{5}{8},-\dfrac{15}{8}\Bigr)=(-0,625,\,-1,875)\n
b) \displaystyle (1,5+0,8y)(0,5+0,8x)=\text{constante}\n
c \,)\,i) \(\displaystyle \nabla\mathbf{V}=\begin{pmatrix}0,8 & 0\\[4pt]0 & -0,8\end{pmatrix}\n
c \,)\,ii) \(\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{V}=0\n
c \,)\,iii) \(\displaystyle \nabla\times\mathbf{V}=0\,\mathbf{k}])

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