Sabendo que um ponto de estagnação é definido como um ponto no campo de escoamento no qual a sua velocidade é zero.
a) Determine se há pontos de estagnação neste escoamento, e caso haja, informe sua localização;
b) Obtenha a equação para as linhas de corrente no plano xy ;
c) Ainda para escoamento calcule i) \nabla V ii) \nabla \cdot V iii) \nabla x V
Passo 1
O enunciado nos dá um campo de velocidade bidimensional, incompressível e permanente, com as componentes (note que o segundo componente aparece com sinal negativo no vetor):
v(x,y)=1,5+0,8y (o componente vertical do vetor velocidade é -v(x,y), ou seja w(x,y)=-\bigl(1,5+0,8y\bigr)).
O enunciado pede:
a) Determinar se existem pontos de estagnação (pontos onde a velocidade é zero) e, se houver, localizar esses pontos.
b) Obter a equação das linhas de corrente no plano xy.
c) Calcular: i) \nabla \mathbf{V} (o tensor gradiente do campo de velocidade), ii) \nabla\cdot\mathbf{V} (a divergência), iii) \nabla\times\mathbf{V} (o rotacional).
Passo 2
Parte (a) — entender o que é um ponto de estagnação:
Um ponto de estagnação é um ponto (x,y) onde a velocidade é zero, ou seja ambas as componentes do vetor velocidade são zero simultaneamente. Aqui a componente horizontal é u(x,y) e a componente vertical é w(x,y)=-v(x,y). Logo as equações a resolver são:
u(x,y)=0,\qquad w(x,y)=0.
Passo 3
Resolver as equações para encontrar possíveis pontos de estagnação. Primeiro igualar a componente horizontal a zero:
0,5+0,8x=0.
Isolando x:
x=-\dfrac{0,5}{0,8}.
Simplificando a fração:
x=-\dfrac{5}{8}=-0,625.
Passo 4
Agora igualar a componente vertical a zero. Lembrando que a componente vertical do vetor é w(x,y)=-\bigl(1,5+0,8y\bigr). Para que ela seja zero é necessário:
1,5+0,8y=0.
Isolando y:
y=-\dfrac{1,5}{0,8}=-\dfrac{15}{8}=-1,875.
Passo 5
Conclusão da parte (a): os dois requisitos são satisfeitos simultaneamente por
Portanto existe exatamente um ponto de estagnação e sua localização foi determinada.
Passo 6
Parte (b) — conceito e equação diferencial das linhas de corrente:
Em escoamento permanente, as linhas de corrente coincidem com as linhas traçadas por vetores tangentes à velocidade em cada ponto. Matemática: se a velocidade tem componentes (u(x,y),\,w(x,y)) então a equação das linhas de corrente satisfaz
\frac{dy}{dx}=\frac{w(x,y)}{u(x,y)}.
Aqui u(x,y)=0,5+0,8x e w(x,y)=-\bigl(1,5+0,8y\bigr). Substituindo:
\frac{dy}{dx}=\frac{-(1,5+0,8y)}{0,5+0,8x}.
Passo 7
Resolver a equação diferencial obtida. Observa-se que a equação é separável (o numerador depende só de y e o denominador só de x). Escrevendo separando variáveis:
\frac{dy}{1,5+0,8y}=-\frac{dx}{0,5+0,8x}.
Agora integra-se ambos os lados.
Passo 8
Integração: usar a integral padrão \displaystyle\int\frac{dz}{a+bz}=\frac{1}{b}\ln|a+bz|+C. Aplicando aos dois lados:
Parte (c)(i) — o tensor gradiente \nabla\mathbf{V}:
O gradiente de um campo vetorial em 2D é a matriz cujas entradas são \partial V_i/\partial x_j. Ordenando as componentes como (u,w) (horizontal, vertical), obtemos a matriz
Isso confirma que o escoamento é incompressível (como dito no enunciado).
Passo 13
Parte (c)(iii) — o rotacional \nabla\times\mathbf{V}:
Em 2D o rotacional resulta em um vetor na direção k com componente \displaystyle\frac{\partial w}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}. Calculando: