Para o campo de velocidade dado a seguir:
u(r)=\frac{\Gamma}{2 \pi r}\left[1-\exp \left(\frac{-r^{2}}{4 \lambda^{2}}\right)\right]
Calcule o gradiente de pressão usando a equação de Euler. Utilize as considerações que achar necessárias.
\square

Passo 1

O enunciado nos dá um escoamento axisimétrico, estacionário e invíscido, só com componente azimutal de velocidade
u_{\theta}(r)=\frac{\Gamma}{2\pi\,r}\Bigl[1-\exp\bigl(-\,\tfrac{r^{2}}{4\lambda^{2}}\bigr)\Bigr]
e pede o gradiente de pressão \nabla p usando a equação de Euler. Vamos usar a forma estacionária da equação de Euler sem termos viscosos em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A equação de Euler estacionária e sem viscosidade é
\rho\,( \mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p.
Como u_{r}=0, u_{z}=0 e u_{\theta}=u_{\theta}(r), o único termo não nulo no lado esquerdo é o centrípeto na direção radial, que vale
\rho\,( \mathbf{u}\cdot\nabla)u_{r} =-\,\rho\,\frac{u_{\theta}^{2}}{r}\,,
de modo que a componente radial da Euler reduz-se a
-\,\rho\,\frac{u_{\theta}^{2}}{r} =-\,\frac{\partial p}{\partial r} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial p}{\partial r} =\rho\,\frac{u_{\theta}^{2}}{r}\,.

Passo 3

Substituindo
u_{\theta}(r) =\frac{\Gamma}{2\pi\,r}\Bigl[1-\exp\bigl(-\tfrac{r^{2}}{4\lambda^{2}}\bigr)\Bigr]
na expressão de \partial p/\partial r, obtemos
\frac{\partial p}{\partial r} =\rho\, \frac{1}{r}\, \Biggl(\frac{\Gamma}{2\pi\,r}\Bigl[1-\exp\bigl(-\tfrac{r^{2}}{4\lambda^{2}}\bigr)\Bigr]\Biggr)^{2} =\rho\, \frac{\Gamma^{2}}{4\pi^{2}}\, \frac{\bigl[1-\exp(-r^{2}/(4\lambda^{2}))\bigr]^{2}}{r^{3}}\,.

Passo 4

Como só há variação radial de pressão, o gradiente fica
\nabla p =\frac{\partial p}{\partial r}\,\mathbf{e}_{r} =\rho\, \frac{\Gamma^{2}}{4\pi^{2}}\, \frac{\bigl[1-\exp(-r^{2}/(4\lambda^{2}))\bigr]^{2}}{r^{3}}\, \mathbf{e}_{r}\,.

Resposta

\nabla p =\rho\, \frac{\Gamma^{2}}{4\pi^{2}}\, \frac{\bigl[1-\exp(-\frac{r^{2}}{4\lambda^{2}})\bigr]^{2}}{r^{3}}\, \mathbf{e}_{r}\,.

Exercícios relacionados