Considera-se escoamento bidimensional, incompressivel e irrotacional em torno de um cilindro 2D de raio R
O potencial de velocidade oriundo da superposição do escoamento uniforme e do dipolo é dado em coordenadas polares:
\varphi(r, \theta)=u_{\infty}\left(r+\frac{R^{2}}{r}\right) \cos \theta
Onde u_{r}(R, \theta)=0
Em quais destas localizações haverá a ocorrência de pontos de estagnação? E em quais destas localizações a pressão terá seu menor valor?

Passo 1

O enunciado trata do escoamento potencial bidimensional, incompressível e irrotacional em torno de um cilindro de raio R. O potencial é
\varphi(r,\theta)=u_{\infty}\Bigl(r+\frac{R^{2}}{r}\Bigr)\cos\theta
e sabemos que na superfície do cilindro \bigl(r=R\bigr) vale u_{r}(R,\theta)=0. Queremos (1) localizar os pontos de estagnação, onde a velocidade total é nula, e (2) determinar onde a pressão é mínima, isto é, onde a velocidade é máxima, usando Bernoulli.

Passo 2

Para achar os componentes da velocidade em coordenadas polares usamos
u_{r} = \frac{\partial \varphi}{\partial r}, \quad u_{\theta} = \frac{1}{r}\,\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}.
Calculando as derivadas:
u_{r} = u_{\infty}\Bigl(1 - \frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr)\cos\theta,
u_{\theta} = -\,u_{\infty}\Bigl(1 + \frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr)\sin\theta.

Passo 3

Os pontos de estagnação satisfazem simultaneamente
u_{r}=0 \quad\text{e}\quad u_{\theta}=0.
Da condição u_{r}=0 obtemos \bigl(1 - R^{2}/r^{2}\bigr)\cos\theta=0. Isso ocorre se \cos\theta=0 ou se r=R. Porém, para estar sobre o escoamento real em torno do cilindro, consideramos r=R. Então em r=R sempre u_{r}=0, resta impor u_{\theta}(R,\theta)=0:
u_{\theta}(R,\theta) = -2\,u_{\infty}\sin\theta \;=\;0 \;\Longrightarrow\;\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\;\theta=0,\pi.
Logo os pontos de estagnação ficam em
(r=R,\;\theta=0) \quad\text{e}\quad (r=R,\;\theta=\pi).

Passo 4

Pela equação de Bernoulli para escoamento potencial e estacionário vale
p + \tfrac12\,\rho\,\bigl(u_{r}^{2}+u_{\theta}^{2}\bigr) = p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,u_{\infty}^{2}.
A pressão será mínima onde a velocidade \sqrt{u_{r}^{2}+u_{\theta}^{2}} for máxima.

Passo 5

Na superfície do cilindro ( r=R) temos u_{r}(R,\theta)=0 e
u_{\theta}(R,\theta) = -2\,u_{\infty}\sin\theta \;\Longrightarrow\; |u_{\theta}| = 2\,u_{\infty}|\sin\theta|.
Esse módulo atinge seu valor máximo 2\,u_{\infty} quando |\sin\theta|=1, ou seja \theta=\tfrac{\pi}{2} ou \theta=\tfrac{3\pi}{2}. Nesses pontos a pressão é mínima.

Resposta

Os pontos de estagnação estão em
(r=R,\theta=0) e (r=R,\theta=\pi).
O valor mínimo de pressão ocorre em
(r=R,\theta=\tfrac{\pi}{2}) e (r=R,\theta=\tfrac{3\pi}{2}).

Exercícios relacionados