Para um escoamento cujo campo de velocidade é dado por:
\mathbf{u}=4 x_{1} e_{1}+8 x_{2} x_{1} e_{2}+12 x_{3} x_{2} e_{3}
Utilize a equação de Euler para estimar o gradiente de pressão deste escoamento. Utilize as considerações que achar necessárias.
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Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{u} = 4\,x_{1}\,\mathbf{e}_{1} \;+\; 8\,x_{2}\,x_{1}\,\mathbf{e}_{2}\;+\;12\,x_{3}\,x_{2}\,\mathbf{e}_{3}
e pede o gradiente de pressão estimado pela equação de Euler. Vamos supor escoamento estacionário, invíscido, sem forças de volume e densidade constante \rho.

Passo 2

A equação de Euler (sem termos de viscosidade nem força de corpo) é
\rho\bigl(\mathbf{u}\cdot\nabla\bigr)\mathbf{u} \;=\;-\,\nabla p.
Portanto basta calcular o termo convectivo (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}.

Passo 3

Escrevemos \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) com
u_{1}=4\,x_{1},\quad u_{2}=8\,x_{1}\,x_{2},\quad u_{3}=12\,x_{2}\,x_{3}.
Então o componente j de (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} é
(\mathbf{u}\cdot\nabla)u_{j} =\sum_{i=1}^{3}u_{i}\,\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}.
Agora cada componente:
(\mathbf{u}\cdot\nabla)u_{1} = u_{1}\,\frac{\partial (4x_{1})}{\partial x_{1}} =4x_{1}\times4 =16\,x_{1}.
(\mathbf{u}\cdot\nabla)u_{2} = u_{1}\,\frac{\partial (8x_{1}x_{2})}{\partial x_{1}} +u_{2}\,\frac{\partial (8x_{1}x_{2})}{\partial x_{2}} =4x_{1}\times8x_{2} \;+\;8x_{1}x_{2}\times8x_{1} =32\,x_{1}x_{2}+64\,x_{1}^{2}x_{2}.
(\mathbf{u}\cdot\nabla)u_{3} = u_{2}\,\frac{\partial (12x_{2}x_{3})}{\partial x_{2}} +u_{3}\,\frac{\partial (12x_{2}x_{3})}{\partial x_{3}} =8x_{1}x_{2}\times12x_{3}\;+\;12x_{2}x_{3}\times12x_{2} =96\,x_{1}x_{2}x_{3}+144\,x_{2}^{2}x_{3}.

Passo 4

Pela equação de Euler temos
\nabla p = -\,\rho\,(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}.
Logo cada componente do gradiente de pressão é
\frac{\partial p}{\partial x_{1}} =-\rho\,16\,x_{1}, \qquad \frac{\partial p}{\partial x_{2}} =-\rho\bigl(32\,x_{1}x_{2}+64\,x_{1}^{2}x_{2}\bigr),
\frac{\partial p}{\partial x_{3}} =-\rho\bigl(96\,x_{1}x_{2}x_{3}+144\,x_{2}^{2}x_{3}\bigr).

Resposta

\nabla p = \bigl(-16\,\rho\,x_{1},\,-\rho\,(32\,x_{1}x_{2}+64\,x_{1}^{2}x_{2}),\,-\rho\,(96\,x_{1}x_{2}x_{3}+144\,x_{2}^{2}x_{3})\bigr).

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