Considera-se escoamento bidimensional, incompressivel e irrotacional em torno de um cilindro de raio \mathbf{R}
O potencial de velocidade oriundo da superposição do escoamento uniforme e do dipolo é dado em coordenadas polares:
\varphi(r, \theta)=u_{\infty}\left(r+\frac{R^{2}}{r} \cos \theta\right)
Onde u_{r}(R, \theta)=0
A partir do coeficiente de pressão como função do ângulo do cilindro, estime as forças de arrasto e sustentação através da integração da pressão ao longo da superfície do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá o potencial de velocidade para o escoamento 2D incompressível e irrotacional ao redor de um cilindro de raio R:
\varphi(r,\theta)=u_{\infty}\Bigl(r+\frac{R^2}{r}\Bigr)\cos\theta
Pede-se que a partir do coeficiente de pressão C_p(\theta) calculemos as forças de arrasto (drag) e de sustentação (lift) integrando a pressão na superfície do cilindro. Para isso vamos usar:
– Extração da velocidade a partir de \varphi.
– Equação de Bernoulli para obter p(\theta).
– Definição de C_p e projeção da pressão nas direções x (arrasto) e y (sustentação).

Passo 2

Calculamos os componentes da velocidade em coordenadas polares via
u_r=\frac{\partial\varphi}{\partial r},\quad u_\theta=\frac{1}{r}\,\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}.
Isso dá
u_r = u_{\infty}\Bigl(1 - \frac{R^2}{r^2}\Bigr)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\,u_{\infty}\Bigl(1 + \frac{R^2}{r^2}\Bigr)\sin\theta.
Na superfície r=R tem-se u_r(R,\theta)=0 (condição impermeável) e
u_\theta(R,\theta)=-2\,u_{\infty}\,\sin\theta.

Passo 3

Pela equação de Bernoulli (escoamento estacionário, sem elevação de nível) vale
p + \tfrac12\,\rho\bigl(u_r^2+u_\theta^2\bigr) =\;p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,u_{\infty}^2\,.
Na superfície do cilindro isso dá
p(R,\theta) = p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,u_{\infty}^2 \Bigl(1 - \frac{u_\theta^2(R,\theta)}{u_{\infty}^2}\Bigr) = p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,u_{\infty}^2\bigl(1 - 4\sin^2\theta\bigr).
Definindo o coeficiente de pressão
C_p(\theta)=\frac{p(R,\theta)-p_{\infty}}{\tfrac12\,\rho\,u_{\infty}^2} =1 - 4\sin^2\theta\,.

Passo 4

A força diferencial exercida pela pressão na faixa [\theta,\theta+d\theta] é
d\mathbf{F} = -\,p(R,\theta)\,\mathbf{n}\,R\,d\theta,
onde \mathbf{n}=(\cos\theta,\;\sin\theta) é o vetor normal externo.
Deste modo, as componentes de arrasto D (eixo x) e sustentação L (eixo y) são
D = -\,R\int_{0}^{2\pi} p(R,\theta)\,\cos\theta\,d\theta, \qquad L = -\,R\int_{0}^{2\pi} p(R,\theta)\,\sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Substituindo p(R,\theta)=p_{\infty} + \tfrac12\rho u_{\infty}^2(1-4\sin^2\theta) e extraindo constantes, temos por exemplo
D = -R\int_{0}^{2\pi}\Bigl[p_{\infty} + \tfrac12\rho u_{\infty}^2(1-4\sin^2\theta)\Bigr]\cos\theta\,d\theta.
Como
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0 e
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,\cos\theta\,d\theta=0, segue D=0. De modo análogo,
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0 e
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^3\theta\,d\theta=0, resultando em L=0.

Resposta

Arrasto D=0 e sustentação L=0.

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