Toma-se um escoamento incompressível, bidimensional, invíscido, sem forças de campo e em regime permanente cujo campo de velocidade é dado por:
u=U_{0}\left(\alpha x_{1} x_{2}\right) e_{1}+U_{0}\left(1+\alpha x_{1} x_{2}\right) e_{2}
Calcule o gradiente de pressão na direção x_{1} usando a equação de Euler.
\square

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento bidimensional, incompressível, invíscido, sem forças de corpo e em regime permanente. O campo de velocidade é
u = u_{1}\,e_{1} + u_{2}\,e_{2}
com
u_{1} = U_{0}\,\alpha\,x_{1}x_{2}, \quad u_{2} = U_{0}\bigl(1 + \alpha\,x_{1}x_{2}\bigr).
Como não há forças externas, a equação de Euler em regime permanente é
\rho\,(u\cdot\nabla)u = -\nabla p.
Vamos usar a componente na direção x_{1}:
\rho\,(u\cdot\nabla)u_{1} = -\frac{\partial p}{\partial x_{1}}.

Passo 2

Para calcular (u\cdot\nabla)u_{1} aplicamos a definição
(u\cdot\nabla)u_{1} = u_{1}\,\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} + u_{2}\,\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}.
Precisamos, portanto, das derivadas parciais de u_{1}.

Passo 3

Calculemos
\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} = \frac{\partial}{\partial x_{1}}\bigl(U_{0}\,\alpha\,x_{1}x_{2}\bigr) = U_{0}\,\alpha\,x_{2},
\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} = \frac{\partial}{\partial x_{2}}\bigl(U_{0}\,\alpha\,x_{1}x_{2}\bigr) = U_{0}\,\alpha\,x_{1}.

Passo 4

Substituindo em (u\cdot\nabla)u_{1}:
(u\cdot\nabla)u_{1} = \bigl(U_{0}\,\alpha\,x_{1}x_{2}\bigr)\bigl(U_{0}\,\alpha\,x_{2}\bigr) + \bigl(U_{0}(1+\alpha\,x_{1}x_{2})\bigr)\bigl(U_{0}\,\alpha\,x_{1}\bigr).
Desenvolvendo,
(u\cdot\nabla)u_{1} = U_{0}^{2}\,\alpha^{2}\,x_{1}x_{2}^{2} + U_{0}^{2}\,\alpha\,x_{1} + U_{0}^{2}\,\alpha^{2}\,x_{1}^{2}x_{2}.
Reagrupando,
(u\cdot\nabla)u_{1} = U_{0}^{2}\,\alpha\,x_{1} + U_{0}^{2}\,\alpha^{2}\bigl(x_{1}^{2}x_{2} + x_{1}x_{2}^{2}\bigr).

Passo 5

Pela equação de Euler em x_{1},
\frac{\partial p}{\partial x_{1}} = -\,\rho\,(u\cdot\nabla)u_{1}.
Logo,
\frac{\partial p}{\partial x_{1}} = -\,\rho\,U_{0}^{2}\,\alpha\,x_{1} \;-\;\rho\,U_{0}^{2}\,\alpha^{2}\bigl(x_{1}^{2}x_{2} + x_{1}x_{2}^{2}\bigr).

Resposta

\frac{\partial p}{\partial x_{1}} = -\rho\,U_{0}^{2}\,\alpha\,x_{1} \;-\;\rho\,U_{0}^{2}\,\alpha^{2}\bigl(x_{1}^{2}x_{2} + x_{1}x_{2}^{2}\bigr).

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