Um campo de velocidade é dado por V=2 y imath+xj+tk. Determine a magnitude da aceleração no ponto (2,1,-1) para t=4 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um campo de velocidade dado por V = 2y,imath + x,jmath + t,k. Precisamos determinar a magnitude da aceleração nesse campo no ponto (2, 1, -1) para t = 4,s.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial aplicados à dinâmica dos fluidos, especificamente calculando a aceleração a partir do campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a aceleração em um campo de velocidade. A aceleração a em um fluido pode ser encontrada usando a seguinte expressão:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V
Aqui, partial Vpartial t é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo, representando a aceleração local, e (V cdot nabla)V é o termo advectivo, que representa a aceleração deve se ao movimento do fluido.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
partial Vpartial t = partialpartial t(2y,imath + x,jmath + t,k) = 0,imath + 0,jmath + 1,k = k
Então, a aceleração local é k.

Passo 4

Agora, vamos calcular o termo advectivo (V cdot nabla)V. Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da velocidade nabla V:
nabla V = partial Vxpartial x & partial Vxpartial y & partial Vxpartial z partial Vypartial x & partial Vypartial y & partial Vypartial z partial Vzpartial x & partial Vzpartial y & partial Vzpartial z = 0 & 2 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Em seguida, fazemos o produto V cdot nabla:
V cdot nabla = (2y)partialpartial x + xpartialpartial y + tpartialpartial z
Aplicando isso à V:
(V cdot nabla)V = (2y)partial Vpartial x + xpartial Vpartial y + tpartial Vpartial z
Calculando cada derivada:
partial Vpartial x = 0,imath + 1,jmath + 0,k
partial Vpartial y = 2,imath + 0,jmath + 0,k
partial Vpartial z = 0,imath + 0,jmath + 0,k
Então,
(V cdot nabla)V = (2y)(0,imath + 1,jmath + 0,k) + x(2,imath + 0,jmath + 0,k) + t(0,imath + 0,jmath + 0,k)
= 0,imath + 2y,jmath + 0,k + 2x,imath + 0,jmath + 0,k
= 2x,imath + 2y,jmath + 0,k

Passo 5

Agora, somamos a aceleração local e o termo advectivo para obter a aceleração total:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V = k + 2x,imath + 2y,jmath
Substituindo os valores do ponto (2, 1, -1) e t = 4,s:
a = k + 2(2),imath + 2(1),jmath = k + 4,imath + 2,jmath

Passo 6

Por fim, vamos calcular a magnitude da aceleração a:
|a| = raiz(4)^2 + (2)^2 + (1)^2 = raiz16 + 4 + 1 = raiz21 approx 4,583,m/s^2

Resposta

A magnitude da aceleração no ponto (2,1,-1) para t = 4,s é aproximadamente 4,583,m/s^2.

Exercícios relacionados