Um campo de velocidade em um escoamento plano é dado por
. Determine a equação da linha de corrente que atravessa o ponto
para
. Determine o vetor aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é a seguinte: temos um campo de velocidade num escoamento plano dado por
em metros por segundo. Queremos encontrar a equação da linha de corrente que passa pelo ponto
quando
. Além disso, precisamos determinar o vetor aceleração nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de linhas de corrente e cálculo vetorial aplicados à dinâmica dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma linha de corrente. Em um escoamento, uma linha de corrente é uma trajetória que uma partícula de fluido segue instantaneamente. Matematicamente, ela é definida pela relação
, onde
e
são as componentes da velocidade nos eixos
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as componentes da velocidade:
Estamos interessados no instante
, então substituímos:
Passo 4
Agora, vamos montar a equação da linha de corrente usando
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Vamos integrar os dois lados da equação para encontrar a relação entre
e
:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Onde
.
Passo 7
Precisamos determinar o valor de
usando o ponto através do qual a linha de corrente passa, que é
. Substituindo
e
na equação:
Passo 8
Com
, a equação da linha de corrente fica:
Ou, de forma simplificada:
Passo 9
Agora, vamos determinar o vetor aceleração
. A aceleração em um fluido é dada por:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 10
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Como
não depende do tempo diretamente,
, então:
Passo 11
Agora, calculamos o termo
. Primeiro, escrevemos o operador
:
Então:
Passo 12
Aplicamos esse operador a
:
Calculando as derivadas:
Passo 13
Então, o vetor aceleração
é:
No ponto
:
Resposta
A equação da linha de corrente que passa pelo ponto
para
é
. O vetor aceleração nesse ponto é
metros por segundo ao quadrado.