Um campo de velocidade em um escoamento plano é dado por V=2 yt imath+xj(m / s). Determine a equação da linha de corrente que atravessa o ponto (4,2) para t=2. Determine o vetor aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é a seguinte: temos um campo de velocidade num escoamento plano dado por V = 2yt,imath + x,jmath em metros por segundo. Queremos encontrar a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (4, 2) quando t = 2. Além disso, precisamos determinar o vetor aceleração nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de linhas de corrente e cálculo vetorial aplicados à dinâmica dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma linha de corrente. Em um escoamento, uma linha de corrente é uma trajetória que uma partícula de fluido segue instantaneamente. Matematicamente, ela é definida pela relação dydx = VyVx, onde Vx e Vy são as componentes da velocidade nos eixos x e y, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da velocidade:
Vx = 2yt e Vy = x
Estamos interessados no instante t = 2, então substituímos:
Vx = 2y times 2 = 4y e Vy = x

Passo 4

Agora, vamos montar a equação da linha de corrente usando dydx = VyVx:
dydx = x4y
Isso pode ser reescrito como:
4y,dy = x,dx

Passo 5

Vamos integrar os dois lados da equação para encontrar a relação entre x e y:
integral 4y,dy = integral x,dx
Calculando as integrais:
2y^2 = 12x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
4y^2 = x^2 + C'
Onde C' = 2C.

Passo 7

Precisamos determinar o valor de C' usando o ponto através do qual a linha de corrente passa, que é (4, 2). Substituindo x = 4 e y = 2 na equação:
4 times (2)^2 = (4)^2 + C'
16 = 16 + C'
C' = 0

Passo 8

Com C' = 0, a equação da linha de corrente fica:
4y^2 = x^2
Ou, de forma simplificada:
y = x2

Passo 9

Agora, vamos determinar o vetor aceleração a. A aceleração em um fluido é dada por:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 10

Primeiro, calculamos a derivada parcial de V em relação ao tempo t:
partial Vpartial t = partialpartial t(4y,imath + x,jmath) = 4yt,imath + 0,jmath
Como y não depende do tempo diretamente, yt = 0, então:
partial Vpartial t = 0

Passo 11

Agora, calculamos o termo (V cdot nabla)V. Primeiro, escrevemos o operador nabla:
nabla = imathpartialpartial x + jmathpartialpartial y
Então:
V cdot nabla = Vx partialpartial x + Vy partialpartial y = 4y partialpartial x + x partialpartial y

Passo 12

Aplicamos esse operador a V:
(V cdot nabla)V = 4y partialpartial x(4y,imath + x,jmath) + x partialpartial y(4y,imath + x,jmath)
Calculando as derivadas:
= 4y (0,imath + 1,jmath) + x (4,imath + 0,jmath)
= 4y jmath + 4x imath

Passo 13

Então, o vetor aceleração a é:
a = 0 + (4x,imath + 4y,jmath) = 4x,imath + 4y,jmath
No ponto (4, 2):
a = 4 times 4,imath + 4 times 2,jmath = 16,imath + 8,jmath m/s² ²

Resposta

A equação da linha de corrente que passa pelo ponto (4, 2) para t = 2 é y = x2. O vetor aceleração nesse ponto é a = 16,imath + 8,jmath metros por segundo ao quadrado.

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