Um campo de velocidade estacionário, bidimensional e incompressivel é dado por
\vec{V}=(a+b x) \vec{i}+(c+d y) \vec{j}
onde as coordenadas x e y estão em metros e a magnitude da velocidade está em \mathrm{m} / \mathrm{s}. Considere a=3,5, b=-2,5, c= 0,7 e d=-2,5. A componente x do vetor aceleração \left(a_{x}\right) é:
Escolha uma opção:
\bigcirc A. 6,25 x-6,25
\bigcirc B. 2,56 x-5,6
\bigcirc c. 6,25 x-8,75
\bigcirc D. 2,56 x-4

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional e estacionário
\vec{V}=(a+b x)\,\vec{i}+(c+d y)\,\vec{j}
com as coordenadas em metros e velocidades em \mathrm{m}/\mathrm{s}. Foram fornecidos os valores
a=3,5,\quad b=-2,5,\quad c=0,7,\quad d=-2,5.
A pergunta é: qual é a componente x do vetor aceleração, isto é, a_x?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula geral para a aceleração de um campo de velocidade. A aceleração material (ou total) é
\vec{a}=\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Expliquei: \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} é a variação no tempo (termo local) e (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é o termo convectivo, que captura como a velocidade muda ao longo das linhas de corrente. Como o campo é estacionário (não depende do tempo), temos \frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=0, então sobra somente o termo convectivo.

Passo 3

Em componentes bidimensionais, se escrevemos u para a componente x e v para a componente y,
\vec{V}=u\,\vec{i}+v\,\vec{j},
o termo convectivo em sua componente x é dado por
a_x = u\,\frac{\partial u}{\partial x}+v\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui \nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y) e (\vec{V}\cdot\nabla)=u\partial_x+v\partial_y. Não esqueça: u e v dependem de x,y em geral.

Passo 4

Identificamos u e v a partir do campo dado:
u=a+b x,\qquad v=c+d y.
Agora calculamos as derivadas necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=b,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0,
pois u depende apenas de x (não de y nem de t).

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão de a_x:
a_x = u\cdot b + v\cdot 0 = b\,u.
Agora substituímos u=a+b x:
a_x = b\,(a+b x).
Expandindo:
a_x = b\,a + b^{2}x.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos dados: a=3,5 e b=-2,5.
Calcule b^{2} e b\,a:
b^{2}=(-2,5)^{2}=6,25,
b\,a = (-2,5)\cdot(3,5) = -8,75.
Portanto
a_x = 6,25\,x - 8,75.

Passo 7

Comparando com as alternativas propostas, a que coincide com o resultado é a alternativa C.

Resposta

C. 6,25 x-8,75

Exercícios relacionados