Um campo de velocidade de um fluido é descrito por v(x, y, z)=(y^2 z, x z^2, x y).
  • (a) Calcule a divergência do campo de velocidade nabla cdot v.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a divergência de um campo de velocidade de um fluido dado por . Para isso, vamos precisar entender o que é divergência em campos vetoriais e como aplicar a fórmula correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z mede como o campo se “espalha” ou “converge” em cada ponto do espaço. Matematicamente, a divergência é dada por:
Isso significa que vamos derivar cada componente de em relação à sua respectiva variável e somar os resultados.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo vx = y^2 z, vy = x z^2, vz = x y :
partial vxpartial x = partialpartial x (y^2 z) = 0
Agora, calculamos cada derivada parcial:
partial vypartial y = partialpartial y (x z^2) = 0
partial vzpartial z = partialpartial z (x y) = 0
nabla cdot v = 0 + 0 + 0 = 0
Somando essas derivadas:

Resposta

A divergência do campo de velocidade é igual a zero, ou seja, .

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